Пусть и , тогда:
1. Произведение ;
2. Частное ;
3. Возведение в n – ю степень ;
4. Извлечение корня n – й степени , .
Формулы Эйлера.
Рассмотрим разложение функции по формуле Маклорена.
Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
(1)
Аналогично определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z:
(2)
(3)
Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
и
Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:
Складывая и вычитая эти два выражения, получим
; .
Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
; .
Из формулы Эйлера следует, что
; .
Приведенные известные из элементарной математики формулы:
, ;
; ,
справедливы и для комплексных значений аргументов и .
5. Основная теорема алгебры:
Функция вида , где п ‒ натуральное число, ‒ постоянные коэффициенты, называется многочленом п –ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
Корнем многочлена называется такое значение х 0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема: Если х 1 есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х‒х 1, т.е. , где ‒ многочлен степени (п ‒1).
Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п -ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде
,
где ‒ корни многочлена, ‒ коэффициент многочлена при хп.
Множители называются линейными множителями.
Пример 1: Разложить многочлен на множители.
Решение: Многочлен обращается в нуль при Следовательно .
Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что является корнем данного многочлена.
=
Уравнение имеет два комплексных корня и .
Следовательно, .
Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .
Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .
Перемножив линейные множители,
,
получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
= , где
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема:
Всякий многочлен п- ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:
где ,
х 1, х 2, …, хr ‒ корнимногочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Пример: этот многочлен имеет корни: х 1 = ‒ 2 и х 2 = 3, других действительных корней нет. Тогда .
Домашнее задание:
1. Выписать из текста определение и обозначение показательной формы комплексного числа.
2. Выписать правила действий над комплексными числами в показательной форме.
3. Дано: z1= 2 – 2i z2= 1 + i*√3. Записать эти числа в тригонометрической и показательной формах.
4. Выполнить любые три действия с z1 и z2 в показательной форме из упражнения 3.