Определение 7. Точка 
называется точкой минимума (максимума) функции 
, если существует такая окрестность точки 
, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется неравенство 
, (
).
Точки минимума и максимума функции 
называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке 
сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если 
- точка экстремума дифференцируемой функции 
, то ее частные производные 
и 
в этой точке равны нулю: 
.
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция 
может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция 
: а) определена в некоторой окрестности критической точки 
, в которой 
и 
; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка 
. Тогда, если 
, то функция 
в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если 
, то функция 
в точке экстремума не имеет. В случае 
вопрос о наличии экстремума остается открытым.
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка: 
и 
.
. Решить систему уравнений 
и найти критические точки функции.
. Найти частные производные второго порядка: 
, 
, 
.
. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
. Найти экстремумы функции.
Пример 6. Найти экстремумы функции 
.
Решение. 1. Находим частные производные и 
:
, 
.
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
или 
Из первого уравнения системы находим: 
. Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим
, 
, 
,
откуда
.
Находим значения y, соответствующие значениям 
. Подставляя значения 
в уравнение 
, получим: 
.
Таким образом, имеем две критические точки: 
и 
.
. Находим частные производные второго порядка:
; 
; 
.
. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:
, 
, 
.
Так как
,
то в точке 
экстремума нет.
В точке 
:
, 
, 
и, следовательно,
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке 
функция имеет минимум, так как в этой точке 
и 
.
. Находим значение функции в точке 
:
.
Условный экстремум
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть 
- функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию 
, называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка 
называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки 
, что для всех точек 
из этой окрестности, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
, (
).
Если уравнение связи можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: 
), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: 
. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции 
.
Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи 
не разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.
Пример 7. Найти экстремумы функции 
при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи 
.
Решение. Из уравнения связи находим функцию 
и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной
или
Находим экстремум данной функции:
, 
, 
- критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как 
, то в точке функция 
имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: 
. Следовательно, функция
в точке 
имеет условный минимум:
.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2007 год, 512 с.
. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2005 год, 271 с.
. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2008 год, 703 с.
. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2005. - 351 с.