Основные типы задач на составление закона распределения дискретной случайной величины

Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.6. Составить закон распределения случайной величины – числа

телевизоров, не требующих ремонта в течение гарантийного срока из трех проданных телевизоров.

Решение. СВ Х – {число телевизоров, не требующих ремонта}

р = 0,6, q = 0,4, n=3.

х=0 (все потребуют ремонта)

P_3,0 =C₃⁰ р⁰q³ = 1·0,6⁰·0,4³ =0,064

х=1 (1 не потребует ремонта)

P_3,1 =C₃¹ р¹q² = 3·0,6 ¹·0,4² =0,288

х=2 (2 не потребуют ремонта)

P_3,2 =C₃² р²q¹ = 3·0,6²·0,4¹ =0,432

х=3 (все не потребуют ремонта)

P_3,3 =C₃³ р³q⁰ = 1·0,6³·0,4⁰ =0,216

Закон распределения имеет следующий вид:

=0,064+0,228+0,432+0,216=1

Тип II. Случайная величина - число испытаний,причем вероятностьпоявления события в одном отдельно взятом испытании постоянна и равна р. Вероятности при составлении закона распределения вычисляются по теореме умножения вероятностей для независимых событий и теореме сложения вероятностей для несовместных событий. Значения случайной величины в законе распределения начинаются с единицы.

Пример 4.

Прибор укомплектовывается тремя однотипными блоками. Контролер проверяет последовательно каждый блок на работоспособность. Как только выявляется неработающий блок, прибор бракуется. Составить закон

распределения случайной величины-числа проверяемых блоков, если

вероятность появления неисправного блока равна 0,2.

Решение. Случайная величина X –{ число проверяемых блоков}. Событие

A={появления исправного блока прибора}. Вероятность появления исправного блока прибора равна P(A)=p=1-0,2=0,8; тогда P (A)= q = 0,2; число блоков прибора n=3. Значения случайной величины X=1;2;3. Случайная величина X примет значение x₁=1, если первый же проверяемый блок оказывается неработающим и прибор бракуется, тогда p ₁ = P (A)= q = 0,2.

Случайная величина X примет значение x₂=2, если первый проверяемый блок

Случайная величина X примет значение x₃=3, если первые два блока работающие, а третий – неработоспособный или все три блока – работоспособны, тогда

= =

= 0,8² ×0,2 +0,8³ = 0,128+0,512 = 0,64

Запишем закон распределения случайной величины X в виде таблицы

å p_i =0,2+0,16+0,64=1

i =1

Пример 5 .

называют функцию F(х), которая определяет для каждого значения аргумента х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х

F(X)=P(X < x) (1)

Если х = а, то F(а) = Р(Х < а).

Задание случайной величины X с помощью функции распределения F(х) универсально, так как этим способом задаются дискретные и непрерывные случайные величины.

Отметим большую значимость и глубокий смысл равенства (1). В левой части этого равенства находится «обыкновенная» функция действительного аргумента, а в правой – переменная вероятность. Эта формула связывает один из важных разделов математики, изучающий функции действительного аргумента, с теорией вероятности, где изучаются, в частности, случайные события, которые могут произойти, а могут и не произойти в результате опыта.

Для дискретной случайной величины X, принимающей значения х₁, х₂,..., х_п, функция распределения F(х) имеет вид

где символ х_i< х под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения случайной величины, которые по своей величине меньше числа х.

Функция F(х) дискретной случайной величины X разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения.

Таблица 2

Построим функцию распределения случайной величины X, ряд распределения которой представлен в табл.2.

При x £ x ₁ F (x)= P (X < x ₁)=0;

При x ₁< x £ x ₂ F (x)= P (X < x ₂)= P (X = x ₁)= p ₁;

При x ₂< x £ x ₃ F (x)= P (X < x ₃)= P (X = x ₁)+ P (X = x ₂)= p ₁+ p ₂;

…………………………………………………………………………………….

При

x_{n -1}< x £ x_n F (x)= P (X < x_n)= P (X = x ₁)+ P (X = x ₂)+_; P (X = x ₃)+...+ P (X = x_{n -1})= p ₁+ p ₂+ p ₃+...+ p_{n -1}

При

x > x_n F (x)= P (X = x ₁)+ P (X = x ₂)+ _.

P (X = x ₃)+...+ P (X = x_n)= p ₁+ p ₂+ p ₃+...+ p_n =1

График построенной функции изображен на рис. 3.

F(x)

Рис.3

Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую линию. Когда переменная x проходит через какое-нибудь из возможных значений случайной величины, значение функции распределения меняется скачкообразно, т.е. функция имеет скачок в тех точках, в которых случайная величина принимает конкретное значение согласно ряду распределения, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма величин всех скачков функции распределения равна единице. В интервалах между значениями случайной величины функция F(x) постоянна.