Временные характеристики типовых звеньев




Лабораторная работа №1

по дисциплине:

«Теория автоматического управления »

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Вариант 4

 

Выполнил: ст.гр. 121191

Илюхина И.М.

Проверил: к.т.н., доцент каф. ПУ

Матвеев В.В.

 

Тула 2012

Цель работы: изучение временных и частотных характеристик типовых динамических звеньев.

Теоретическая часть

Временные характеристики типовых звеньев

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления могут быть описаны как дифференциальными уравнениями, так и графическими характеристиками. Процесс нахождения дифференциального уравнения системы через уравнения ее элементов в общем случае является довольно трудоемким. Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления в частности преобразований Лапласа. Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу является основой чрезвычайно удобного для исследований САУ метода передаточных функций. С помощью передаточных функций можно легко оценить динамические свойства любого элемента САУ.

Передаточной функцией W(s) звена (системы) называется отношение преобразования по Лапласу выходной координаты X(s) звена (системы) к изображению по Лапласу входной координаты Y(s) при нулевых начальных условиях:

(1)

Под временными характеристиками динамического звена (системы) в общем случае понимается графическое изображение процесса изменения выходной величины в функции времени при переходе звена из одного равновесного состояния в другое. Так как дифференциальное уравнение тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при некоторых начальных условиях, то временная характеристика представляет собой графическую форму решения дифференциального уравнения звена для принятого типового воздействия и, следовательно, полностью характеризует динамические свойства звена (системы).

Переходная функция, или переходная характеристика, h(t) описывает переходной процесс на выходе звена (системы), возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным при нулевых начальных условиях.

Единичная ступенчатая функция 1(t). Типовое входное воздействие, при котором функция y(t)=1(t) определяется соотношениями y(t) =0 при t < 0 и y(t) =1 при t³ 0, т.е.

0, т.е.

(2)

называется единичной ступенчатой функцией 1(t) – рисунок 1а. Предполагается, что единичной ступенчатой функцией 1(t) имеет туже размерность, что и физическая величина на входе звена. Если воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию y(t)=ууст.×1(t), выходная величина будет равна x(t)= ууст.h(t).

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы и т.п. Умножение какой-либо функции времени x(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) означает, что функция времени x(t) будет существовать только при t³ 0, при t < 0 она обращается в нуль.

 

 

Рисунок 1 – Типовые входные воздействия

а – ступенчатые функции – единичная и произвольной величины;

б - единичная импульсная функция конечных параметров;

в - единичная импульсная функция нулевой ширины

 

Единичный импульс – дельта-функция d(t) – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала, площадь которого равна единице при длительности равной нулю, и высоте равной бесконечности. Дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции

d(t) = = 1¢(t) (3)

или в операционной форме

d(s) = sL[1(t)] = s =1. (4)

Поэтому

L[w(t)] = W(s) d(s) =W(s),(5)

 

т.е. изображение импульсной переходной функции равно передаточной функции. Отсюда, для характеристики динамических свойств звена (системы) в равной мере могут быть использованы как передаточная, так и импульсная переходная функция. Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности.

Использование ступенчатого постоянного или импульсного воздействия в виде стандартного входного сигнала имеет также и то преимущество, что действительные, любой формы, возмущающие воздействия на систему можно представить в виде последовательности таких сигналов, например так как показано на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Представление входного воздействия произвольной формы суммой входных ступенчатых воздействий

 

При поступлении на вход звена или разомкнутой системы с передаточной функцией W(p) входной величины y(t) = 1(t) на выходе получаем переходную характеристику x = h(t). Входная и выходная величины, преобразованные по Лапласу запишутся следующим образом

Y(p) = L[y(t)] = L[1(t)] = 1/p; (9)

X(p) = L[h(t)] = h(p). (10)

С учетом этих соотношений получим:

(11)

Из выражения (11) следует, что по временной характеристике системы (по переходной функции) можно получить передаточную функцию системы. В свою очередь изображение по Лапласу переходной функции определяется выражением

(12)

Из выражения (12) с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить переходную функцию разомкнутой системы:

(13)

Аналогично переходная функция замкнутой системы имеет вид:

(14)



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: