Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
Пример: 640 делится на 20, т. к. 40 делится на 20.
Признак делимости на 21.
Число делится на 21 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 7.
Пример: 231 делится на 21, т. к. число делится и на 3, и на 7.
Признак делимости на 22.
Число делится на 22 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 11.
Пример: 352 делится на 22, т. к. число делится и на 2, и на 11.
*Признак делимости
на 23:
*Для того, чтобы число делилось на 23,
необходимо, чтобы число его сотен,
сложенное с утроенным числом десятков,
было кратно 23
Н
А
П
Р
И
М
Е
Р
Число 28852 делится на 23, так как 8+5•3=23,
23 делится на 23, следовательно, 28852 делится
Признак делимости на 24.
Число делится на 24 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 8.
Пример: 8136 делится на 24, т. к. число делится и на 3, и на 8.
*Признаки делимости
на 25:
*Для того, чтобы число делилось на 25,
необходимо, чтобы его последние цифры были
нули, либо образовывали число, делящееся на 25
Н
А
П
Р
И
М
Е
Число 34650 делится наР 25, т.к. 50 делится на 25
Число 23400 делится на 25, т.к. две его последние
цифры-нули
*Признаки делимости
на 50:
*Для того, чтобы число делилось на 50, надо, чтобы
две последние цифры этого числа делились на 25 и
представляли собой четное число. А этому условию
удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100-
трехзначное число, значит, запись числа должна
оканчиваться на 00 или 50
Н а п р и м е р Число 6957200, 67906850
Свойства делимости чисел.
При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением натуральных чисел
• Одно из п последовательных натуральных чисел делится на п;
Пример: 3; 4; 5; 6; 7 – 5 последовательных натуральных чисел, 5 делится на 5.
• Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Пример: 10;последовательных четных числа, 12 делится на 4.
• Произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6;
Пример: 5*6*7=делится на 6, т. к. 210 делится на 2 и на 3.
• Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Пример: 4*6=24 24 делится на 8.
• Свойство 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
Пример: 66 + 121= 187 делится на 11, т. к. 66 и 121 делятся на 11.
• Свойство 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
Пример: 1125 – 75 =1050 делится на 25, т. к. 1125 и 75 делятся на 25
• Свойства 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
Пример: 21*5*9 = 945делится на 7, т. к. 21 делится на 7.
• Свойство 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.
Пример: 171 делится на 57, а 57 делится на 19, значит 171 делится на 19.
Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.
Задача № 1.
уристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Решение.
3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.
Задача № 2
Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.
Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?
Решение.
Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420
Ответ: 1 раз в 420 дней.
Задача № 3
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.
Решение.
Используем признак делимости на 11.
Ответ:;
Задача № 4
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Решение
Только на 7.
Ответ 167, 257, 347, 527.
Задача № 5
Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Ответ: 8910.
Задача № 6.
Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.
Ответ: опровергающий пример.
Задача № 7.
Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?
Решение.
Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.
Ответ: 17.
Задача №8
Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Решение
Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.
Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.
Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2доллара, и у него останется 498 долларов.
Заключение
В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.
Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса - игры «Кенгуру». В современном мире тоже используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.