Параметрические критерии

Из параметрических критериев в биометрии применяются в основном -критерий Стьюдента и -критерий Фишера. Первый применяется для сравнения средних величин, второй — для сравнения дисперсий.

Критерий Стьюдента

-критерий Стьюдента может быть использован для проверки гипотезы о различии выборочных средних двух нормально распределенных групп в предположении, что их выборочные дисперсии равны, но неизвестны, при условии небольших объемов выборок ( < 30).

В качестве критерия для проверки этой гипотезы служит переменная величина – экспериментальное или фактическое значение -распределения:

(1)

Здесь

и (2)

- выборочные средние X и Y. - объемы выборок, соответственно.

, (3)

- исправленные выборочные дисперсии.

Фактическое значение сравнивают с критическим значением распределения Стьюдента. Здесь a - уровень значимости, - число степеней свободы.

Если < - нулевая гипотеза принимается: различие в выборочных средних незначимо. Если > - нулевая гипотеза отвергается: различие в выборочных средних является следствием различия в генеральных средних.

Критерий Фишера

Для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий -критерий оказывается недостаточно точным, особенно на малочисленных выборках. В поисках лучшего критерия Р. Э. Фишер и Д. Снедекор предложили использовать отношение выборочных дисперсий:

. (4)

При этом всегда берется отношение большей дисперсии к меньшей, поэтому , если же обе дисперсии равны, . Чем значительнее расхождение между выборочными дисперсиями, тем больше будет и величина . Критическое значение - зависит от уровня значимости a и от чисел степеней свободы и . . – объемы выборок с большей и меньшей дисперсией, соответственно.

Если - нулевая гипотеза принимается: наблюдаемое различие в исправленных выборочных дисперсиях незначимо. Если - нулевая гипотеза отвергается: различие в исправленных выборочных дисперсиях является следствием различия в генеральных дисперсиях.

Практические задания

Задание 1. Для изучения влияния кобальта на соматический рост кроликов проводился опыт на опытной и контрольной группах животных. Обе группы животных содержались на одном и том же кормовом рационе. Но опытные кролики, в отличие от контрольных, ежедневно получали добавку хлористого кобальта в виде водного раствора. За время опыта животные дали следующие прибавки в массе (см. табл.1). С вероятностью 99% установите, влияет ли кобальт на средние привесы кроликов. Выясните, можно ли для этих групп применять t - критерий Стьюдента.

Таблица 1.

Выполнение:

В своей папке создайте новую книгу «Параметрические критерии». Лист 1 озаглавьте: «Кролики». В ячейку A1 на листе 1 введите текст «Изучение влияния кобальта на соматический рост кроликов ». Шрифт Arial, размер 16.

Внесите данные из табл.1, с ячейки A3. Установите размер шрифта в таблице равным 12.

В ячейку E17 введите текст «опыт», ячейку F17 введите текст «контроль», размер шрифта 14. В ячейку A18 введите текст «Выборочные средние », размер шрифта 14. В ячейке E18 рассчитайте среднее значение привеса для опытной группы X, используя встроенную статистическую функцию, вычисляющую среднее значение: =СРЗНАЧ(диапазон данных) (В нашем случае это =СРЗНАЧ(A5:A12)). В ячейке F18 рассчитайте среднее значение привеса для контрольной группы Y. Правильно выделите диапазон данных контрольной группы!

В ячейку A19 введите текст «Выборочные дисперсии », размер шрифта 14. В ячейке E19 рассчитайте исправленную выборочную дисперсию данных опытной группы , используя встроенную статистическую функцию =ДИСП(диапазон данных). В нашем случае это =ДИСП(A5:A12)). В ячейке F19 рассчитайте исправленную выборочную дисперсию данных контрольной группы .

В ячейку A20 введите текст «Число кроликов в группах ». В ячейки E20 и F20 введем формулы, вычисляющие число кроликов n₁ и n₂ в опытной и контрольной группах, соответственно. Используйте статистическую функцию =СЧЁТ(диапазон данных).

В ячейку A22 введите текст «Разница выборочных средних ». Рассчитайте значение (X – Y) в ячейке E22. Все формулы в Microsoft Excel начинаются со знака =. В нашем случае: = ссылка на нужную ячейку 1- ссылка на нужную ячейку2.

В ячейку A23 введите текст «Уровень значимости ». Рассчитайте значение a для вероятности 99% в ячейке E23: =1-0,99.

В ячейку A24 введите текст «Число степеней свободы f ». Рассчитайте значение в ячейке E24, используя в формуле ссылки на соответствующие ячейки.

Теперь рассчитаем фактическое и критическое значения величины . В ячейки A26 и A28 введем текст «Фактическое значение критерия t » и «Критическое значение критерия t ».

В ячейке E26 рассчитаем фактическое значение по формуле (1). Используйте в нужных местах встроенную математическую функцию КОРЕНЬ. Должно получиться (но мы могли ошибиться со ссылками на ячейки, поэтому обязательно проверьте сами!) =E22*КОРЕНЬ(E20 * F20*E24/(E20 + F20))/КОРЕНЬ((E20-1)*E19 +(F20-1)*F19).

Критическое значение величины вычислим в ячейке E28 с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР(уровень значимости, степени_свободы).

Должны получиться: фактическое значение – 4,13; критическое – 2,95.

Теперь проверим гипотезу о равенстве выборочных дисперсий опытной и контрольной групп согласно критерию Фишера. В ячейки A30 и A32 введем текст «Фактическое значение критерия Фишера » и «Критическое значение критерия Фишера ».

В ячейке E30 рассчитаем фактическое значение по формуле (4). В ячейке E32 рассчитаем критическое значение с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР(уровень значимости; степени свободы ; степени свободы ).

Должны получиться: фактическое значение – 1,38; критическое – 6,84.

Напишите вывод. (Например: Фактическое значение критерия Фишера меньше, чем критическое, поэтому с вероятностью 99% принимается нулевая гипотеза о равенстве исправленных выборочных дисперсий. Следовательно, критерий Стьюдента использовать можно. Фактическое значение критерия Стьюдента больше, чем критическое, поэтому нулевая гипотеза о равенстве выборочных средних опровергается. Таким образом, разница между средними значениями привесов в опытной и контрольной группе оказалась существенной с вероятностью 99%.)

Рассчитаем фактическое и критическое значение критерия Стьюдента с помощью встроенного пакета «Анализ данных». Выбираем «Сервис» - «Анализ данных» - «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями». (Если нет пакета «Анализ данных», тогда: «Сервис» - «Надстройка» - «Пакет Анализа» - поставить галочку и установить «Анализ данных».)

Интервал переменной 1 – выбираем интервал опытной группы с названием группы «опыт». Интервал переменной 2 – выбираем интервал контрольной группы с названием группы «контроль». Метки – ставим галочку (в этом случае данные для этих групп будут подписаны; если не ставить галочку, то тогда в интервалах надо указывать только данные - без названия). Альфа – указываем уровень значимости. Параметры вывода – выходной интервал – указываем номер ячейки. В нашем случае возьмем Н15.

Внимательно изучите появившуюся таблицу. Наудите в ней фактическое и критическое значение критерия Стьюдента. В свободных ячейках справа от этих значений введите надписи «Фактическое значение критерия » и «Критическое значение критерия