МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Сибирский государственный аэрокосмический университет
Имени академика М.Ф. Решетнева»
(СибГАУ)
УТВЕРЖДАЮ
№______ Директор института ИТК
________________А.М. Попов
«____»________________2010 г.
СВЕДЕНИЯ
Об учебно-методическом комплексе дисциплины (УМКД)
1. Автор: Семенкина Ольга Эрнестовна, профессор каф. ВМ, д.т.н.
2. Дисциплина: Математика (м.а.)
3. Институт: Информатики и телекоммуникаций
4. Кафедра: Высшей математики
5. Рекомендуемая специальность (код): 220100.62 Системный анализ и управление (очное)
6. Количество часов по дисциплине (по учебному плану): 561
7. Структура УМКД:
| № п/п | Компонент УМКД | Автор | Вид издания и название | Год издания | Кол. экз. в биб-ке |
| Рабочая программа дисциплины «Математика (м.а.)» | Семенкина Ольга Эрнестовна | ||||
| Высшая математика в упражнениях и задачах. | Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. | -М.: ОНИКС. | |||
| Высшая математика [Текст]:учебник: в 3 т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. | Бугров, Я.С. Никольский С.М. | Дрофа, - Высш. образование | |||
| Перечень вопросов для экзамена | Семенкина Ольга Эрнестовна | 102 вопроса |
Автор _____________________________________ О.Э. Семенкина
Зав.кафедрой _______________________________ А.А. Кузнецов
Дата «_____» ____________________ 20 ___ г.
Министерство образования и науки
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М.Ф. Решетнёва »
(СибГАУ)
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИИТК
_________________ Попов А.М.
«____»__________________ 2010г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Математика (м.а.)
Направление подготовки: 220100.62 - Системный анализ и управление
Степень: Бакалавр техники и технологии
Форма обучения: Очная
Кафедра: Высшей математики
Красноярск 2010 г.
I. Выписка из ГОС ВПО
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного переменного.
Элементы функционального анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных; вариационное исчисление и оптимальное управление; уравнения математической физики.
II. Цели и задачи дисциплины.
Цели: Воспитание достаточно высокой математической культуры.
Привитие навыков современных видов математического мышления.
Использование математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Задачи: Обучение студентов основным математическим методам, необходимым в инженерных исследованиях.
Привитие навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
III. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Студенты в результате изучения данной дисциплины должны обладать следующими компетенциями:
а) универсальные:
- общенаучные (ОНК):
ОНК 1. способность применять знания на практике;
ОНК 2. исследовательские навыки;
ОНК 3. способность учиться
- инструментальные (ИК):
ИК 2. фундаментальная подготовка по основам профессиональных знаний;
ИК 5. способность к анализу и синтезу;
б) профессиональные:
- общепрофессиональные (ОПК):
ОПК 2. умение понять поставленную задачу
ОПК 3. умение формулировать результат;
ОПК 5. умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат;
ОПК 7. умение грамотно пользоваться языком предметной области;
ОПК 8. умение ориентироваться в постановках задач;
ОПК 10. понимание корректности постановок задач;
ОПК 15. способность передавать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления
- профильно-специализированные (ПСК):
ПСК 2. владение методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач;
ПСК 4. владение проблемно-задачной формой представления математических знаний;
ПСК 7. умение самостоятельно математически корректно ставить задачи естественно-научного содержания;
ПСК 9. умение точно представить математические знания в устной форме.
IV. Объём дисциплины по видам учебной работы.
| Вид учебной работы | Всего | Семестры | |||
| Общая трудоемкость дисциплины | 21з.е.(561 ч.) | ||||
| Аудиторные занятия всего (час.): | |||||
| В том числе: лекции | |||||
| практические занятия, семинары | |||||
| Другие виды аудиторных занятий | |||||
| Самостоятельная работа всего (час.): | |||||
| В том числе: расчетно-графическая работа | |||||
| другие виды самостоятельной работы | |||||
| Вид итогового контроля З (зачет), Э (экзамен) | Э | З, Э | Э | Э |
V. Содержание дисциплины.
Семестр.
| № п/п | Название раздела дисциплины и его содержание по темам | Лекции, часы | ПЗ или С, часы | Конс. |
| Последовательности. Предел последовательностей и функций. | ||||
| 1. Множество вещественных чисел. Функция. область ее определения. Сложные и обратные функции. | ||||
| 2. Основные элементарные функции, их свойства и график. | ||||
| 3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. | ||||
| 4. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. Существование пределов монотонной ограниченной последовательности. | ||||
| 5. Предел в функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции. Свойства предела функции. | ||||
| 6. Однородные пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. | ||||
| Непрерывность. | ||||
| 7. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. | ||||
| 8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. | ||||
| 9. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений. Теорема об обратной функции. Понятие о равномерной непрерывности. | ||||
| Дифференциальное исчисление функции одной переменной и исследование функции. | ||||
| 10. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Дифференциал функции его геометрический смысл. | ||||
| 11. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. | ||||
| 12. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Логарифмическая производная. | ||||
| 13. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. | ||||
| 14. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагран- жа. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. | ||||
| 15. Производные и дифференциалы высших порядков. | ||||
| 16. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке. | ||||
| 17. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построение ее графика. |
Семестр.
| № п/п | Название раздела дисциплины и его содержание по темам | Лекции, часы | ПЗ или С, часы | Конс. |
| Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и теория поля. | ||||
1. Пространство  . Множества в :открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах.
Частные производные.
| ||||
| 2. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. | ||||
| 3. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению. Градиент. Дивергенция. Ротор. | ||||
| Интегрирование. | ||||
| 4. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. | ||||
| 5. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие. | ||||
| 6. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Интегрирование тригонометрических функций. | ||||
| 7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. | ||||
| 8. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. | ||||
| 9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. | ||||
| 10. Двойные и тройные интегралы. | ||||
| 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. | ||||
| Дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений. | ||||
| 12. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. | ||||
| 13.Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. | ||||
| 14. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. | ||||
| 15. Общее решение линейного уравнения. Фундаментальная система решений. Метод произвольных вариации постоянных. | ||||
| 16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. | ||||
| 17. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. | ||||
| 18. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. |
Семестр.
| № п/п | Название раздела дисциплины и его содержание по темам | Лекции, часы | ПЗ или С, часы | Конс. |
| Ряды. | ||||
| 1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. | ||||
| 2. Признаки сходимости рядов. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютного сходящихся рядов. | ||||
| 3. Функциональные ряды. Область сходимости. | ||||
| 4. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. | ||||
| 5. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. | ||||
| 6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. | ||||
| 7. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. | ||||
| 8 Ортогональные и ортонормированные системы. Процесс ортогонализации. Ряды Фурье по ортогональным системам. | ||||
| 9. Минимальное свойство частных сумм рядов Фурье. | ||||
| 10. Тригонометрические ряды Фурье. | ||||
| Элементы теории функций комплексного переменного. | ||||
| 11. Элементарные функции, их свойства. Ветви многозначных функций. | ||||
| 12. Дифференцируемость и аналитичность функции. Условия Коши-Римана. Гармонические и аналитические функции. | ||||
| 13. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Конформные отображения. Теорема Римана. | ||||
| 3. | Уравнения математической физики. | |||
| 14. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. | ||||
| 15. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка. Волновое уравнение. Решение методом Даламбера и Фурье. | ||||
| 16. Уравнение теплопроводности. Решение методом разделения переменных. | ||||
| 17. Уравнение Лапласа. Разностные методы решения задач математической физики. |
Семестр.
| № п/п | Название раздела дисциплины и его содержание по темам | Лекции, часы | ПЗ или С, часы | Конс. |
| Элементы теории функций комплексного переменного. | ||||
| 1. Конформные отображения элементарными функциями: линейной, дробно-линейной. | ||||
| 2. Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши. | ||||
| 3. Интегральная формула Коши. Формула для вычисления производных. | ||||
| 4. Ряды Тейлора в комплексной области. | ||||
| 5. Ряды Лорана. | ||||
| 6. Изолированные особые точки, их классификация. | ||||
| 7. Вычеты, их вычисление. Основная теорема о вычетах. | ||||
| 8. Применение вычетов к вычислению интегралов. | ||||
| Элементы функционального анализа. | ||||
| 9. Понятие метрики и метрического пространства. Специальные неравенства. Полнота метрических пространств. | ||||
| 10. Теорема о замкнутых шарах. Метод сжатых отображений. Теорема Каччиополи-Банаха. | ||||
| 11. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом сжимающих отображений. | ||||
| 12. Сепарабельные и компактные пространства. Непрерывные функционалы и операторы. | ||||
| 13. Линейные пространства. Линейные функционалы и операторы. Понятие нормы и нормированного пространства. | ||||
| 14. Вариация линейного функционала. Уравнение Эйлера. | ||||
| Теория вероятностей. | ||||
| 15. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Вероятность. | ||||
| 16. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Элементарная теория вероятностей. | ||||
| 17. Методы вычисления вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. | ||||
| 18. Формула Байеса. Схема Бернулли. Теорема Пуассона и Муавра-Лапласа. | ||||
VI. Практические (семинарские) занятия
Семестр.
| № п/п | Наименование темы занятия | Часы | Формы контроля выполнения работы часы |
| Последовательности. Предел последовательностей и функций. | |||
| 1. Множество вещественных чисел. Функция. область ее определения. Сложные и обратные функции. | Типовой расчет | ||
| 2. Основные элементарные функции, их свойства и график. | |||
| 3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. | |||
| 4. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. | |||
| 5. Предел в функции в точке и на бесконечности. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Свойства предела функции. | |||
| 6. Односторонние пределы. Замечательные пределы. | |||
| Непрерывность функции. | |||
| 7. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. | |||
| 8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. | |||
| 9. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений. | Контрольная работа | ||
| Дифференциальное исчисление функции одной переменной и исследование функции. | |||
| 10. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Дифференциал функции его геометрический смысл. | Типовой расчет | ||
| 11. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. | |||
| 12. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Логарифмическая производная. | |||
| 13. Точки экстремума функции. Правило Лопиталя. | |||
| 14. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. | |||
| 15. Производные и дифференциалы высших порядков. | Контрольная работа | ||
| 16. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке. | |||
| 17. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении. Исследование функции и построение ее графика. |
Семестр.
| № п/п | Название темы занятия | Часы | Формы контроля выполнения работы часы |
| Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и теория поля. | |||
| 1.Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Функции, непрерывные на компактах. Частные производные. | |||
| 2. Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. | |||
| 3. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению. Градиент. Дивергенция. Ротор. | Контрольная работа | ||
| Интегрирование. | |||
| 4. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. | Типовой расчет | ||
| 5. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие. | |||
| 6. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Интегрирование тригонометрических функций. | |||
| 7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. | |||
| 8. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. | |||
| 9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. | |||
| 10. Двойные и тройные интегралы. | |||
| 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. | |||
| Дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений. | |||
| 12. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. | Типовой расчет | ||
| 13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. | |||
| 14. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. | |||
| 15. Общее решение линейного уравнения. Фундаментальная система решений. Метод вариации произвольных постоянных. | |||
| 16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. | |||
| 17. Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. | Контрольная работа | ||
| 18. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. |
Семестр.
| № п/п | Название темы занятия | Часы | Формы контроля выполнения работы часы |
| Ряды. | |||
| 1. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. | Типовой расчет | ||
| 2. Признаки сходимости рядов. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. | |||
| 3. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютного сходящихся рядов. | |||
| 4. Функциональные ряды. Область сходимости. | |||
| 5. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. | |||
| 6. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. | |||
| 7. Степенные ряды. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. | |||
| 8. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. | |||
| 9. Ортогональные и ортонормированные системы. Процесс ортогонализации. | |||
| 10. Тригонометрические ряды Фурье. | Контрольная работа | ||
| Элементы теории функций комплексного переменного. | Типовой расчет | ||
| 11. Элементарные функции, их свойства. Ветви многозначных функций. | |||
| 12. Дифференцируемость и аналитичность функции. Условия Коши-Римана. Гармонические и аналитические функции. | |||
| 13. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Конформные отображения. | |||
| Уравнения математической физики. | |||
| 14. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка. | |||
| 15. Волновое уравнение. Решение методом Даламбера и Фурье. | |||
| 16. Уравнение теплопроводности. Решение методом разделения переменных. | |||
| 17. Уравнение Лапласа. |
Семестр.
| № п/п | Название темы занятия | Часы | Формы контроля выполнения работы часы |
| Элементы теории функций комплексного переменного. | |||
| 1. Конформные отображения элементарными функциями: линейной, дробно-линейной. | Типовой расчет | ||
| 2. Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши. | |||
| 3. Интегральная формула Коши. Формула для вычисления производных. | |||
| 4. Ряды Тейлора в комплексной области. | |||
| 5. Ряды Лорана. | |||
| 6. Изолированные особые точки, их классификация. | |||
| 7. Вычеты, их вычисление. | |||
| 8. Применение вычетов к вычислению интегралов. | |||
| Элементы функционального анализа. | |||
| 9. Метрические пространства. Специальные неравенства. Полнота метрических пространств. | |||
| 10. Метод сжатых отображений. | |||
| 11. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом сжимающих отображений. | |||
| 12. Сепарабельные и компактные пространства. Непрерывные функционалы и операторы. | |||
| 13. Линейные пространства. Линейные функционалы и операторы. Нормированные пространства. | |||
| 14. Вариация линейного функционала. Уравнение Эйлера. | Контрольная работа | ||
| Теория вероятностей. | |||
| 15. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Вероятность. | |||
| 16. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Элементарная теория вероятностей. | Типовой расчет | ||
| 17. Методы вычисления вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. | |||
| 18. Формула Байеса. Схема Бернулли. Теорема Пуассона и Муавра-Лапласа. |