Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближённо характеризуют реальные звенья систем в заданном диапазоне частот. Рассматривая характеристики звеньев вне зависимости от их назначения, физического принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд типовых (элементарных) звеньев, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.
Все типовые звенья имеют передаточную функцию, которая представляет собой рациональную дробь.
Сложные линейные звенья могут быть сведены к соединению типовых, порядок дифференцирования которых не выше второго. Из курса алгебры известно, что полином любого порядка может быть разложен на простые сомножители, поэтому произвольную дробно-рациональную функцию всегда можно представить в виде произведения простых дробей.
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми (элементарными).
Типовые звенья делят на:
· простейшие (пропорциональное, интегрирующее, дифференцирующее);
· звенья первого порядка (апериодическое, форсирующее);
· звенья второго порядка.
Простейшие звенья
Пропорциональное (безинерционное) звено.
Звено, выходная величина которого прямо пропорциональна входной величине, называется пропорциональным и описывается уравнением вида .
Примером такого звена являются делитель напряжения, рычажная передача, редукторная передача, усилитель постоянного тока.
Изображение выходного сигнала .
Передаточная функция .
ИПФ: ПХ:
.
Рис. 1 Рис. 2
Частотные характеристики: ;
(рис 3);
|
АЧХ: (рис. 4); ФЧХ:
(рис. 5)
ЛАЧХ: .
Рис.3 АФЧХ Рис.4 АЧХ Рис 5 ФЧХ
Интегрирующее звено.
Звено, выходная величина которого пропорциональна или равна интегралу по времени от входной величины, называется интегрирующим и описывается уравнением вида или
, где
.
Изображение выходного сигнала имеет вид: .
Передаточная функция звена .
ИПФ: ПХ:
Графики приведены на рис. 7 и 8.
Рис.7. ИПФ интегрирующего звена
Рис. 8. ПХ интегрирующего звена
,
где .
Рис.9. АФЧХ интегрирующего звена
При изменении частоты от 0 до
конец вектора
движется по отрицательной части мнимой оси от
до 0.
Интегрирующее звено создает отставание выходного гармонического сигнала на 90° на всех частотах; амплитуда выходного сигнала уменьшается с возрастанием частоты рис. 10.
АЧХ: ;
.
ФЧХ: .
Рис. 10. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена.
Логарифмическая частотная характеристика имеет вид: .
Зависимость — прямая линия с наклоном -20 дб/дек (Рис.11).
Пусть , К=100, тогда
.
Пусть , тогда
.
Пусть , тогда
.
Из этого рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение ЛАЧХ изменится на –20 дб. Следовательно, она имеет вид прямой.
Рис. 11. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена
Дифференцирующее звено.
Звено, выходная величина которого пропорциональна или равна производной по времени от входной величины, называется идеальным дифференцирующим и описывается уравнением вида , где
.
Передаточная функция имеет вид .
Импульсная переходная функция и переходная характеристика определяются зависимостями .
Частотные характеристики выражаются формулами:
|
.
АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 12.
Рис. 12. Частотные характеристики дифференцирующего звена
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет вид:
.
Пусть , К=10, тогда
.
Пусть , тогда
.
Зависимость — прямая линия с наклоном +20 дб/дек (Рис.13).
увеличивается на 20 дб при увеличении частоты на одну декаду.
Рис. 13. Логарифмические характеристики дифференцирующего звена
Звенья первого порядка
Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.
Дифференциальное уравнение имеет вид: .
Получим передаточную функцию: .
.
Величины и
соответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени апериодического звена.
Коэффициент характеризует уровень изменения выходного сигнала, постоянная времени
характеризует инерционные свойства системы, т.е. как быстро система отрабатывает поступившее воздействие.По известным формулам или таблице оригиналов и изображений получим зависимости, определяющие ИПФ и ПХ:
(рис.15).
(рис.16).
.
Рис.15 ИПФ апериодического звена
Рис. 16. ПХ апериодического звена
Преобразование Лапласа при ненулевых начальных условиях имеет вид: ;
.
.
Найдем частотные характеристики:
В теории управления часто используется метод качественного построения частотных характеристик по контрольным точкам (рис.17).
;
.
По полученным контрольным точкам легко построить годограф .
Рис. 17. АФЧХ апериодического звена
, тогда
.
ФЧХ определяется формулой .
.
Графики и
изображены на рис.18.
Рис. 18. АЧХ и ФЧХ апериодического звена
Логарифмические амплитудные характеристики пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев являются прямыми, и их легко построить. Построение ЛАЧХ других элементарных звеньев требует дополнительных вычислений и построений. Поэтому на практике часто ограничиваются построением приближённых асимптотических ЛАЧХ.
|
ЛАЧХ апериодического звена определятся формулой:
.
Рассмотрим две области построения:
1. , тогда
.
На частотах в выражении
пренебрегают слагаемым
и характеристика в этой области представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
2. , тогда
.
На частотах в выражении
пренебрегают единицей и характеристика в этой области представляет собой прямую с наклоном -20 дб/дек.
Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена представлена (рис.19).
Рис. 19. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена.
Частоты, на которой асимптотические ЛАЧХ претерпевает излом, называют сопрягающими частотами. Определим значение функции на этой частоте.
, где
.
Это говорит о том, что на частоте сопряжения точная ЛАЧХ будет меньше на три дБ, относительно асимптотической.
Рис. 20. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена
Дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее).
Дифференциальное уравнение имеет вид: .
Получим передаточную функцию: .
.
Величины и
соответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени форсирующего звена.
;
Частотные характеристики:
.
.
Построение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена аналогичен построению ЛАЧХ интегрирующего звена.
Рис.21 Асимптотическая ЛАЧХ дифференцирующего звена
Звенья второго порядка
Колебательное звено. Имеем уравнение .
Примеры звеньев приведены на рис. 22.
Рис. 22. Примеры колебательных звеньев:
а - RLC -колебательный контур; б - механическая система ( - масса,
- коэффициент упругости пружины,
- коэффициент демпфирования)
Найдем ПФ. Имеем
Тогда
где или
(при
).
Параметры и
называются коэффициентом усиления, постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности) колебательного звена соответственно.
При различных значениях имеют место следующие звенья:
· —консервативное или вырожденное колебательное (корни чисто мнимые);
· — апериодическое 2-го порядка (корни вещественные);
· — колебательное корни комплексно-сопряжённые).
Рассмотрим колебательное звено.
Найдём корни характеристического уравнения .
, где
- частота собственных колебаний звена,
- сопрягающая частота системы.
Вещественная часть корня представляет собой коэффициент затухания переходного процесса; мнимая часть корня – частоту колебаний переходного процесса.
Для получения временных характеристик можно воспользоваться таблицей оригиналов и изображений или соответствующей аналитической формулой.
Запишем выражение для ИПФ колебательного звена (рис. 23).
.
Перед построением ИПФ определим начальные и конечные значения:
Рис. 23. ИПФ колебательного звена ()
Определим переходную функцию колебательного звена (рис. 24).
Перед построением переходной функции определим начальные и конечные значения:
Рис. 24. Переходная характеристика колебательного звена
при различных значениях
Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.
АФЧХ колебательного звена представлены на рис. 25.
Рис. 25. АФЧХ колебательного звена.
Определим значение АЧХ в контрольных точках:
Амплитудная характеристика плавно уменьшается, если . Если
, то на амплитудной характеристике появляется резонансный «горб».
Частота, при которой амплитудная характеристика достигает максимального значения, называется резонансной и определяется формулой
.
Частота как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного звена называется сопрягающей частотой.
ФЧХ имеет вид
Определим значение ФЧХ в контрольных точках:
Графики и
изображены на рис. 26.
Рис. 26. АЧХ и ФЧХ колебательного звена для различных значений .
Построим асимптотическую ЛАЧХ:
1. Пусть , тогда в выражении
пренебрегают вторым слагаемым и
и характеристика в этой области представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
2. Если , то в выражении
во втором слагаемом оставляют только наибольшее слагаемое
, тогда
.
Характеристика в этой области представляет собой прямую с наклоном -40 дб/дек.
Определим значение функции на частоте сопряжения
На рис. 27 и 28 показаны асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена для различных значений .
Рис. 27. ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях
Рис. 28. ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях
Рассматривая колебательное звено в общем виде, мы получаем в качестве частных случаев ещё 2 типовых звена: консервативное и апериодическое второго порядка.
.
Есть звенья, которые традиционно относятся к типовым и указываются в таблицах, но при этом они не являются простейшими.К ним относятся:
-интегрирующеес замедлением или инерционное интегрирующее;
- дифференцирующее с замедлением (инерционное дифференцирующее);
- интегро- дифференцирующее, если
, то звено ближе к интегрирующему; если
, то звено ближе к дифференцирующему.
Неминимально – фазовые звенья.
Важным общим показателем типовых звеньев является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости комплексного переменного.
Пусть имеем: , где
- полюса знаменателя;
-нули числителя. Рассмотрим один из сомножителей знаменателя
. Звенья, нули и полюса которых лежат в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Звенья, передаточные функции которых имеют нули и полюса, лежащие в правой полуплоскости, называются неминимально-фазовыми.