Контрольная работа
Выполнил: Калинин Максим
Проверил: Агульник Ольга Николаевна
Новосибирск, 2015 г
1. Найти пределы
а) 
б) 
в) 
.
Решение.
Воспользуемся формулами:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23).
- воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на 
.
.
Поскольку 
~ 
, то 
~ 
, тогда
.
в) 
Ответ: а) 
, б) 0, в) 
.
. Найти производные 
данных функций
б) 
г) 
.
Решение.
Свойства производной:
(24)
(25)
(26)
(27)
.
.
.
- функция задана неявно.
Продифференцируем обе части равенства:
;
;
;
Выразим производную 
:
;
;
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
; г) .
3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
. Используя результаты исследования, построить её график
Решение. Схема исследования функции
. Найдем область определения функции: 
. Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.
функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая
. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечение с 
: 
точка 
Пересечение 
: 
.
. Найдем производную функции и ее критические точки.
, 
- критические точки.
5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.
Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:
, 
,
.
, 
.
Табл.1.
  -2(-2;2)2 
| |||||
| ----+
| |||||
 -11
|
Значит 
при 
(-2;2), 
при и
точка минимума 
; - точка максимума 
.
. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.
.
, 
, 
.
, 
, 
.
, 
, 
, 
Табл.2.
   0   
| |||||||
 - 0+0-0+
| |||||||
  0 
|
В интервалах, где 
< 0, то есть при и график функции выпуклый, а где >0 - и 
- вогнутый.
. Найдем асимптоты.
Уравнения наклонных асимптот 
, где 
, тогда наклонных асимптот не существует.
Горизонтальная асимптота 
(ось 
)
График данной функции имеет вид:
Рис.3.
4. Дана функция 
. Найти все её частные производные второго порядка
Решение.
Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) - (27). Найдем вначале производные первого порядка.
- считаем постоянной, а 
- переменной.
- считаем постоянной, а - переменной.
Найдем производные второго порядка:
- дифференцируем 
по , считая постоянной.
- дифференцируем по , считая постоянной.
- дифференцируем 
по , считая постоянной.
Ответ: 
,
, 
.
. Найти неопределенные интегралы
а) 
б) 
в) 
г) 
.
Решение.
Воспользуемся свойствами интеграла:
(28)
. (29)
(30) - внесением под знак дифференциала необходимой переменной.
(31)
Воспользуемся формулой понижения степени 
, тогда
.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами
, если 
(32)
(33).
экстремум дробь монотонность подынтегральный
Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:
получим систему: 
. Тогда
.
- выполним замену переменной 
, тогда 
.
.
Выполним обратную замену, тогда 
.
Ответ: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
Список использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.
2. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.
3. Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель», 2004 - 495с.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М.:Наука, 1985. - 560с.
6. Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.