ОбработкА результатов измерений
Методические указания
к лабораторной работе
по обработке результатов измерений
для студентов всех специальностей
Санкт-Петербург
Обработка результатов измерений при выполнении лабораторных работ по курсу общей физики. / Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный институт: Сост. В.И.Белякова, Е.А.Желудкова, Е.А.Кукина. СПб. 2014 с.10
Табл.3. Илл. 1.
Рецензент: профессор, д.т.н. Т.А.Дацюк
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.
Составители: доцент Белякова Валентина Ивановна
доцент Желудкова Елена Александровна
ст. преподаватель Кукина Елена Александровна
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 5.
§ 1. Виды измерений и погрешностей
Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямыми называются измерения, выполненные с помощью измерительных приборов. Косвенные измерения осуществляются с помощью расчетов по формулам. Измерения не могут быть выполнены абсолютно точно. Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения.
Погрешности делятся на абсолютные и относительные. Абсолютная погрешность величины x обозначается символом 
. Относительные погрешности обозначаются символом 
и измеряются в процентах. Абсолютные погрешности делятся на систематические, случайные, приборные и промахи.
Систематические погрешности – такие погрешности, которые соответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону – либо в сторону завышения, либо в сторону занижения. При повторных измерениях в тех же условиях величина погрешности остаётся неизменной. Систематические погрешности можно исключить из результатов измерений.
Случайные погрешности зависят от большого числа случайных факторов. Даже при очень строгом соблюдении одинаковых условий повторные измерения одной и той же величины, как правило, приводят к отличающимся друг от друга значениям. Отклонения от истинного значения могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Случайные погрешности нельзя исключить из измерений, но можно сосчитать, используя формулы теории вероятностей. Величина случайной погрешности зависит от числа измерений, она уменьшается с увеличением количества измерений.
Приборные погрешности – погрешности, связанные с точностью изготовления прибора, используемого для измерения. Они могут носить как систематический, так и случайный характер. За приборную погрешность простейших приборов (линейка, манометр, термометр, барометр и т.д.) принимается половина самого маленького деления на шкале прибора.
Промахи – грубые ошибки в значениях измеряемой величины. Промахи просто исключают из результатов измерений.
§ 2. Обработка результатов прямых измерений
Пусть измерения какой-то величины x в одинаковых условиях проводились несколько раз. В результате получили ряд значений этой величины 
.
Для простоты расчетов составим следующую таблицу
Для обработки результатов измерений выполнить следующие действия:
1) Во второй столбец таблицы занести результаты измерений и в конце столбца рассчитать среднее значение величины x по формуле
(1.1)
2) Рассчитать отклонение от среднего всех измеренных значений и занести их в третий столбец
; 
; 
… 
.
3) Рассчитать квадраты отклонений и занести их в четвертый столбец. В конце столбца сосчитать сумму квадратов отклонений.
4) Рассчитать абсолютную случайную погрешность по формуле
(1.2)
где 
– коэффициент Стьюдента;
– вероятность
n – число измерений.
5) Рассчитать суммарную абсолютную погрешность по формуле
(1.3)
где 
– приборная погрешность.
6) Рассчитать относительную погрешность по формуле
(1.4)
где 
– среднее значение величины.
Относительная погрешность характеризует точность измерения. Если 
, то измерения выполнены с достаточной степенью точности.
7) Записать окончательный результат, предварительно округлив погрешность и среднее значение по правилам округления. Например,
(5,4 ±0,1) м
Величина 
называется доверительным интервалом. На числовой оси значений x он строится следующим образом:
В этом доверительном интервале с вероятностью a находится истинное значение величины x.
§ 3. Примеры расчетов абсолютной случайной погрешности
Пусть некоторая величина измерялась несколько раз. В результате получились следующие значения: 5,3; 5,4; 5,2. Погрешность измерительного прибора δ = 0,1. Рассчитаем абсолютную погрешность величины x.
Коэффициент Стьюдента берется из таблицы.
Рассчитаем случайную погрешность: число измерений n = 3.
Рассчитаем суммарную абсолютную погрешность. = 0,1.
Запишем окончательный результат в виде:
§ 4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть значение некоторой величины φ определяют не прямыми измерениями, а на основании измерений величин x, y, z, не зависимых друг от друга и связанных с искомой величиной φ функциональной зависимостью
Величины x, y, z определяют путем многократных прямых измерений и предварительно обрабатывают их по схеме §2.
Обработка косвенных измерений может осуществляться двумя способами.
Способ I.
1) Для каждого значения 
и 
вычислить 
и получить набор значений 
.
2) Составить таблицу и заполнить ее, как и в §2.
3) Рассчитать случайную абсолютную погрешность величины 
по формуле
4) Рассчитать относительную погрешность по формуле
5) записать окончательный результат в виде
В этом случае отсутствует расчет суммарной погрешности.
Способ II.
1) Рассчитать среднее значение 
, подставив в формулу средние значения прямых измерений.
2) Рассчитать относительную погрешность 
по формуле
где 
и 
– абсолютные погрешности прямых измерений, рассчитанные по схеме § 2.
3) Рассчитать абсолютную погрешность 
по формуле
4) Записать окончательный результат в виде
§5. ПРИМЕРЫРАСЧЕТОВ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО СПОСОБУ II
Для расчета относительной погрешности в косвенных измерениях необходимо выполнить следующие действия.
1) Прологарифмировать формулу, используя натуральный логарифм.
2) Вычислить частные производные по переменным 
, 
и 
.
3) Составить общую формулу относительной погрешности.
Пример 1. Пусть
причем
Определить относительную погрешность .
1) Логарифмируем формулу
2) Вычисляем частные производные
3) Составляем формулу
4) 
Пример 2. Пусть
Вывести формулу для .
1) 
2) 
3) 
Переменными величинами в формуле считаются те величины, которые измеряются в лабораторной работе, а также те величины, которые задаются с погрешностью.
Пример 3. Для определения объема прямого цилиндра используется формула
где 
– средний диаметр,
– средняя высота так как
d и h – прямые измерения, проведенные многократно.
1) Логарифмируем формулу:
2) Вычисляем частные производные: d соответствует 
, а h – 
, а V – φ.
Производные от величин 
и 4 равны 0, так как это величины постоянные.
3) Составляем общую формулу
Преобразуем равенство
§ 6. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ЗАПИСИ ОКОНЧАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА
1) Округление результата начинается с погрешности. Погрешность рассчитывается до двух значащих цифр, а затем округляется до первой значащей цифры. Значащая цифра – это цифра, отличная от нуля. Нуль является значащим лишь в том случае, когда он стоит между значащих цифр.
2) Среднее арифметическое значение величины рассчитывается до 4-х – 5-ти значащих цифр, а затем округляется до того цифрового разряда, в котором стоит первая значащая цифра погрешности.
Пример определения количества значащих цифр.
2009 – четыре
1000 – одна
2031 – четыре
10 – одна
0,1 – одна
0,583 – три
Примеры округления
0,875 ± 0,0143 = 0,88 ± 0,01
2,365 ± 0,34 = 2,4 ± 0,3
10,56 ± 0,396 = 10,6 ± 0,4
123,46 ± 2,56 = 123 ± 3 = (1,23 ± 0,03)∙102
7434 ± 78 = 7430 ± 80 = (7,43 ± 0,08)∙103
12458 ± 268 = (12500 ± 300) = (1,25 ± 0,03)∙104
§7. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
В большинстве лабораторных работ по общему курсу физики необходимо построить графики. В технических науках для построения графиков существуют некоторые стандарты
1) Графики строятся только на миллиметровой бумаге. По оси х откладывается аргумент, по оси y – функция.
2) На осях координат обозначаются:
– буквенное обозначение величины;
– единицы ее измерения;
– десятичный масштаб.
Никаких других цифр на осях координат не должно быть. Десятичным называют масштаб, при котором 1 мм бумаги соответствует 1 х 10n, 2∙10n или 5∙10n измеряемой величины, где n – любое целое число отрицательное или положительное.
3) Масштабы на осях могут быть разными и не обязательно начинаться с нуля.
4) Масштаб следует выбирать таким, чтобы экспериментальные точки занимали большую часть миллиметровой бумаги, которая выбрана для графика. Точки на плоскость графика следует наносить ярко либо крестиками, либо точками.
5) Линия графика проводится между точками плавно так, чтобы сумма расстояний от точек по нормали сверху и снизу от линии была примерно одинаковой.
Пример построения графика
Используемая литература
1.Пустовалов Г.Е. Методическая разработка по общему физическому практикуму. Погрешности измерения. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001.
2. Зайдель А.М. Ошибки измерений физических величин. Л., Наука, 1974.
3. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М., Изд. МГЦ, 1977.
4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М., - Мир. 1985.