Свойства определенного интеграла.

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Урок Определенный интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Цели: рассмотреть понятия криволинейной трапеции и определенного интеграла; изучить формулу Ньютона- Лейбница; формирование навыков вычисления площадей криволинейных трапеций.

Актуализация прежних знаний

1. Закончить предложение «Неопределенным интегралом функции f(x) называется …

2. Правая часть равенства

3. Найти: 1) , 2) , 3) 4) 5)

Изучение нового.. §56, 57

1. Определенный интеграл. Основные понятия и определения

Выражение называется определенным интегралом функции на отрезке

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования.

Что такое определенный интеграл? Определенный интеграл – это ЧИСЛО.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощьюформулы Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона- Лейбница.

Теорема. Пусть - первообразная функции . Тогда

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница, из нее следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Свойства определенного интеграла.

1. 2. 3.

4. 5. если

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.