Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.
· Свойство 4.
А) Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
б) Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится (< на >, > на <). Сравните:
Если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.
Следствие. Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.
· Свойство 5. …
· Свойство 6. …
· Свойство 7. …
Некоторые важные неравенства (куда их авторы включают в теорию или в упражнения?)
- |a + b| ≤ |a| + |b|, где a и b произвольные числа
- |a – b| ≥ |a| – |b|, где a и b произвольные числа
-
≥ 
, где a > 0, b > 0 -
+ 
≥ 2, где a > 0, b > 0
Действия с неравенствами (сколько действий над неравенствамиследует вводить? Чем руководствоваться?)
Сложение неравенств: (a < b и c < d) ⇔ a + c < b + d
Умножение неравенств: (a > b > 0 и c > d > 0) ⇔ ac > bd
4. Подходы к доказательству каждого из свойств неравенств (только на основании определения понятий «больше», «меньше»; с присоединением искусственных приемов; с применением метода математической индукции ММИ)
1. Доказать: Если а > b, то b < а, и, наоборот, если а < b, то b > а.
Из сборника задач по алгебре Кочетковых
Доказательство. Пусть а > b. По определению это означает, что число (а – b) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число – (а – b) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому – (а – b) < 0, т.е. b – а < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b < a.
Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А (а) лежит на числовой прямой правее точки В (b), то точка В лежит левее точки А, и наоборот (см. рис. 20).
Знать, как доказывать свойства неравенств 5-7 и правила действий над неравенствами…
5. Проблема переформулирования свойств для двойных неравенств ( Как, например, сформулировать свойство a < b < с ⇔ (a + р < b + р < c + р или a – р < b – р < c – р)?)
6. Оценка выражений с использованием свойств неравенств
Задание 1. Дано: 6 < х < 12 и 2 < у < 3.
Оценить значения выражения: 1) х + у; 2) х – у; 3) х у; 4) 
.
Ответ: 1)8 < х + у < 15? 2) 4 < х – у < 9? 3) 12 <ху < 36? 4)3 < 
< 4?
Решение
2) 6 < х < 12 4) 6 < х < 12
– 3 < –у < – 2 
< 
< 
Ответ: 2) 3 < х – у < 10; 4)2 < < 6.
Задание 2. Дано: 4 < х < 12 и 2 < у < 3.
Верно ли что: а) –5 < х – 3 у < 6; б) –2 < х – 3 у < 3?
Часть 2.Методические проблемы при изучении неравенств с переменной
Разумный сайт https://egemaximum.ru/ Репина Елена Юрьевна
7. Порядок введения множества действительных чисел и неравенств с переменной
8. Линейное неравенство с переменной и его решение