Неравенство есть условие развития культуры,
И всякое бытие связано с неравенством.
Свобода есть право на неравенство.
(Николай Бердяев «Философия неравенства»)
Николай Александрович Бердяев (1874—1948)
религиозный и политический философ, экзистенциалист
(Экзистенциализм – философия существования —
направление в философии XX века,
рассматривающее человека как уникальное духовное существо,
способное к выбору собственной судьбы.)
Материалы к ЛК: «Методика изучения числовых неравенств и неравенств с переменной в школе»
В математике: постоянная Архимеда (рассматривая
правильный 96-угольник, он нашел приближение числа 𝜋 – 
{\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}}).
Часть 1. Методические проблемы при изучении числовых неравенств и их свойств
1. Определение понятий «больше» и «меньше» ( корректные и некорректные формулировки определений этих понятий; особенности формулировок, связанных с неравенствами, в сравнении с равенствами)
АНАЛИЗИРУЕМ (найти самый корректный вариант) :
· Число a равно b, когда разность a − b равняется нулю;
· Число a больше b, когда разность a − b – положительна;
· Число a больше b, когда разность a − b > 0;
· Число a больше числа b, если разность a − b является положительным числом.
Когда и как надо доказать возможность замены слов «является положительным (отрицательным) числом» на записи «> 0 », «< 0 »?
2. Введение понятия неравенства и определения разных видов неравенств, проблемы формирования математической речи (Строгие неравенства, нестрогие неравенства, двойные неравенства, правила их чтения. Корректность сопроводительной терминологии).
АНАЛИЗИРУЕМ (что можно поправить?) :
Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.
Если одно числовое выражение не равно другому, то сравним оба выражения поставим между ними знак сравнения – больше (>) или меньше (<). Мы получим числовое неравенство: (2 · 4) < (3 · 6)
Числовые неравенства (как и числовые равенства) могут быть верными и неверными (истинными и ложными):
(25 – 5): 5 > 10 – это неравенство неверно (ложно);
(25 – 5): 5 < 10 – это неравенство верно (истинно).
Числовым неравенством называется запись вида a<b, a≤b, a>b, a≥b, где a ≤ b⇔ (a<b или a=b) и a ≥ b ⇔ (a>b или a=b).
АНАЛИЗИРУЕМ (найти корректный вариант) :
«отметим на числовой прямой», «точка координатной прямой»,
«решим числовое неравенство», «выражение a > b »,
«неравенство справедливо», «докажем верность неравенства»,
«докажем числовое неравенство», «неравенство умножить почленно на» и т.д.
3. Формулирование свойств числовых неравенств, их количество
и подходы к доказательству каждого из свойств
Свойства неравенств следуют из свойств действительных чисел. Для любых чисел a и b верно одно и только одно из следующих трех утверждений (трихотомия):
a >b, a <b, a =b.
Основные свойства числовых неравенств (везде ли такой набор?)
1) a > b ⇔ b < a Что исправить на рисунке?
2) (a > b и b > c) ⇔ a > c 
3) a > b ⇔ (a + c > b + c или a – c > b – c)
4) а) (a > b и c < 0) ⇔ ac < bc
б) (a > b и c > 0)⇔ ac > bc
5) (a > b > 0) ⇔ 
6) (k ∈ N, a > b > 0) ⇔ a k > b k
7) (n ∈ N, a > b > 0) ⇔ 
> 
Словесные формулировки свойств неравенств
· Свойство 1.
Если число a меньше числа b, то число b больше числа a.
· Свойство 2.
Если число a меньше числа b, а число b меньше числа с, то число а меньше числа с.
· Свойство 3.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Сравните: