Лекция №1
Тема: «Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня»
Вопросы:
Метод сечений для определения внутренних сил
Напряжения
Опоры и опорные реакции, и их определение
Поперечная сила и изгибающий момент
Метод сечений для определения внутренних сил
Как уже отмечалось, до приложения к телу нагрузки, внутри его не возникает внутренних усилий (4-е допущение). При приложении внешних сил или моментов внутри тела появляются внутренние силовые факторы. Их определяют методом сечений. Для этого в интересующем нас месте делается мысленный разрез, отбрасывается одна часть тела (обычно та, на которую действует больше сил), а ее воздействие на оставшуюся заменяется внутренними силовыми факторами, значение которых находят из уравнений статического равновесия рассматриваемой части тела.
Возможны два варианта решения задачи:
а) внешние силы и моменты находятся в одной плоскости, проходящей через центр тяжести сечения (плоская задача);
б) внешние силы и моменты не находятся в одной плоскости (пространственная задача).
Рассмотрим плоскую задачу. Пусть на тело (рисунок 1) действует система сил, лежащих в одной плоскости и оно находится в статическом равновесии. Определим внутренние усилия в сечении 1-1. Отбрасываем правую часть тела, а ее воздействие на левую заменим на три силовые факторы: продольную силу N, направленную перпендикулярно плоскости сечения; поперечную силу Q, лежащую в плоскости сечения (на рисунке она несколько смещена вправо для того, чтобы она не сливалась с сечением); изгибающий момент М, плоскость действия которого перпендикулярна плоскости сечения.
Рисунок 1
Для нахождения внутренних силовых факторов проведем оси координат через центр тяжести сечения OX, OY и составим уравнения статического равновесия:
; 
;
где 
и 
– соответственно проекции сил 
и 
на ось OY.
.
; 
;
где 
и 
– соответственно проекции сил и на ось OX.
; 
где a1 и a2 плечи сил и , т.е. кратчайшие стояния от точки 0 до направления действия сил (плечо a2 не показано, чтобы не усложнять рисунок).
Аналогично определяют усилия в сечениях 2-2, 3-3 и т.д. по всей длине тела. Определив значения N, Q и M строят эпюры (графики) каждого внутреннего усилия в отдельности. По эпюрам находят опасное сечение (сечения). Опасным считают сечение, где одно из внутренних усилий имеет максимальное значение. Это важно при расчете брусьев постоянного сечения (стержней), так как там, где внутреннее усилие максимально, возможна потеря прочности. А если прочность обеспечена в опасном сечении, то она обеспечена для всего стержня.
При плоской задаче опасных сечений может быть три. При некоторых видах нагружения два из трех внутренних усилий могут быть равны нулю, и тогда будет одно опасное сечение. Возможен также вариант, когда все внутренние усилия имеют максимум в одном сечении. Тогда тоже будет одно опасное сечение.
Рассмотрим пространственную задачу, т.е. когда внешние силы и моменты не лежат в одной плоскости (рисунок 2).
Рисунок 2
Внутренних усилий будет шесть: три силы и три момента, т.е. одна сила и один момент относительно каждой оси координат (две силы или два момента относительно одной оси быть не может, так как они сложатся и будет результатируюшая, т.е. одна сила или момент).
Сила, перпендикулярная сечению, называется продольной N и направлена по оси Z. Сила, лежащая в плоскости сечения, называется поперечной Q. Их будет две: вдоль осей Y и X соответственно Qy и Qx. Эти силы можно сложить по правилу параллелограмма и получить одну силу Q. Моменты Mx и My действуют перпендикулярно плоскости сечения, поэтому являются изгибающими. Момент Mz лежит в плоскости сечения и называется крутящим моментом Т.
Для пространственной задачи составляется шесть уравнений статического равновесия:
; определяем 
;
; определяем 
;
; определяем 
;
; определяем 
;
; определяем 
;
; определяем 
.
Возможны следующие частные случаи возникновения внутренних усилий в сечении:
а) только продольная сила N. Это случай растяжения (сила направлена от сечения) или сжатия (сила направлена внутрь тела);
б) только поперечная сила Q.Это случай сдвига;
в) только крутящий момент Т. Это случай кручения;
г) только изгибающий момент Мх или только изгибающий момент Му. Это случай изгиба.
д) Несколько внутренних усилий, например, Мх и Му вместе. Это случай сложного сопротивления.
Напряжения
Внутренние усилия действуют не в одной какой-либо точке, а распределены по всему сечению, причем интенсивность их, т.е. отношение внутреннего усилия к площади сечения, в разных точках может быть различной. Интенсивность внутренних усилий называют также механическим напряжением или просто напряжением.
Напряжение – это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения. Размерность напряжения сила/площадь. Единица измерения – паскаль.
Паскаль величина небольшая. Его можно представить как давление 100 г воды, разлитой на 1 м2 поверхности. Прочность всех материалов измеряется в миллионах Па, поэтому применяют математическую приставку “мега”, т.е. миллион.
Рисунок 3
1 МПа = 106 Па
Полное напряжение р можно разложить на две составляющие (рисунок 3):
а) нормальную к плоскости сечения, называемую нормальным напряжением s;
б) лежащую в плоскости сечения, называемую касательным напряжением t.
Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалится друг от друга или наоборот, сблизится. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.
Опоры и опорные реакции, и их определение
При расчете конструкций в основном встречаются элементы, испытывающие изгиб. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называют балками. Для того чтобы балка могла испытывать нагрузку и передавать ее на основание, она должна быть соединена с ним опорными связями. На практике применяют несколько типов опорных связей, или, как говорят, несколько типов опор.
Различают три основных типа опор:
а) шарнирно-подвижная опора:
б) шарнирно-неподвижная опора:
в) жесткая заделка.
Рисунок 4
На рисунке 4 показана шарнирно-подвижная опора, такая опора позволяет балке свободно поворачиваться и перемещаться в горизонтальном направлении. Поэтому реакция в опоре будет одна - вертикальная сила. Условное обозначение такой опоры показано справа.
Рисунок 5
На рисунке 5 показана шарнирно-неподвижная опора. Такая опора позволяет балке свободно поворачиваться, но перемещаться она не может. Поэтому могут возникать две реакции - вертикальная и горизонтальная силы. Их можно сложить и получить одну результатирующую силу, но нужно знать угол, под которым oна будет направлена. Более удобно будет пользоваться вертикальной и горизонтальной составляющими реакции.
На рисунке 6 показана жесткая заделка. Она не позволяет балке ни поворачиваться, ни перемещаться. Поэтому могут возникать три опорные реакции: момент, вертикальная и горизонтальная силы. Если балка не имеет на конце опоры, то эта часть ее называется консолью.
Рисунок 6
Определим реакции опор для балки (см. рисунок 7).
Рисунок 7
В опоре А горизонтальная реакция равна нулю, так как распределенная нагрузка q и сосредоточенная сила F имеют вертикальное направление. Реакции опор 
направим вверх. Составим два уравнения статического равновесия сил. Сумма моментов относительно каждой из опор равна нулю. Уравнения моментов нужно составлять относительно опор, так как в этом случае получаются уравнения с одним неизвестным. Если составить уравнения относительно точек В и С, то получим уравнения с двумя неизвестными, а их решать сложнее. Моменты против часовой стрелки будем считать положительными, по часовой - отрицательными.
где 
- момент от равномерно распределенной нагрузки.
Произведение q на расстояние, на котором она приложена, из условия равновесия системы равно сосредоточенной силе, приложенной посредине отрезка. Поэтому момент равен:
– момент силы F
Внешний момент m на плечо не умножается, так какэто пара сил, т.е. две равные по величине, противоположно направленные силы, имеющие постоянное плечо.
или
.
Проверка: Сумма всех сил на вертикальную ось Y должна быть равна нулю:
.
Момент m в условие статического равновесия не записывают, так как момент - это две равные по величине, противоположно направленные силы и в проекции на любую ось они дадут ноль.
30-20-2-40+50=0:
80-80=0.
Реакции определены правильно.