Лекция №13
Тема: « Геометрические характеристики сечения »
Вопросы:
Статические моменты сечения
Моменты инерции сечения
Моменты инерции прямоугольника, круга и кольца
Изменение моментов инерции с поворотом осей. Главные оси и главные моменты инерции
Статические моменты сечения
Статическим моментом сечения относительно оси X (см. рис. 1) называется выражение:
(1)
и относительно оси Y:
(2)
Рис. 1
Статический момент имеет размерность см3 или м3, может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Если статический момент ранен нулю, то ось проходит через центр тяжести сечения и называется центральной осью. Поэтому оси симметрии фигур вceгда являются центральными.
Определим как изменяется статический момент фигуры с параллельным переносом оси. Пусть ось Хо является центральной (см. рис. 2), а ось X смещена на расстояние а. Из рисунка видно, что: .
Рис. 2
Статический момент фигуры относительно оси X равен:
.
Интеграл представляет собой статический момент относительно оси Хо, т.е. центральной оси. Мы уже отмечали, что статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
;
В результате получим:
или
.
Если заменить – ординату центра тяжести фигуры, то получим:
и (2)
По формулам (2) можно определить координаты центра тяжести фигуры. Если фигура имеет сложные очертания, то ее разбивают на несколько простых (прямоугольники, треугольники, секторы, сегменты и т.д.) и статический момент находят как сумму статических моментов простых фигур. Статический момент простых фигур определяют, преобразовав формулу (2):
и (3)
Пример: Определить центр тяжести фигуры (рис. 3). Размеры даны в см.
|
Рис.3
Решение: Разбиваем фигуру на два прямоугольника (на рисунке пронумерованы 1 и 2). Оси X и Y проводим чeрез центр тяжести одной из фигур (прямоугольника 1), что значительно облегчает подсчеты, так как:
.
По формуле (3) находим:
,
.
Общая площадь фигуры равна:
.
Координаты центра тяжести определим по формуле (2):
;
.
Проверка: Если фигура вычерчена в масштабе, то центр тяжести находится па прямой, соединяющей центры тяжести простых фигур.
Моменты инерции сечения
Осевым моментом инерции относительно оси X называется выражение:
относительно оси Y: (4)
Полярным моментом инерции является выражение (см. рис. 4):
(5)
Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны и имеют размерность см4 или м4. Из рисунка 4 видно, что:
поэтому:
Рис. 4
или
(6)
Полярный момент инерции равен сумме осевых.
Помимо осевых и полярного момента инерции в ряде случаев определяют центробежный момент:
. (7)
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Размерность та же, что и осевых и полярных моментов – см4 или м4.
Определим, как изменяется осевой момент инерции с параллельным переносом оси. Пусть ось Хо – центральная (см. рис. 2). Из рисунка видно, что:
,
Тогда:
Интеграл – это момент инерции относительно центральной оси Хо, т.е. интеграл – это статический момент относительно центральной оси, а он всегда равен нулю.
В результате получим:
(8)
Из формулы (8) видно, что осевой момент минимальный при а=0, т.е. центральный осевой момент имеет наименьшее значение.
|
Рассмотрим изменение центробежного момента инерции с параллельным переносом осей (см. рис. 5). Оси Xо и Yо – центральные.
Рис.5
Из рисунка 5 видно, что:
, .
Центробежный момент равен:
Интеграл представляет собой центробежный момент инерции, интегралы и – статические моменты относительно центральных осей Xо и Yо. Как известно, центральные статические моменты равны нулю. Поэтому:
(9)
Если одна из центральных осей являйся осью симметрии фигуры, то и формула (9) упростится:
(10)
Моменты инерции прямоугольника, круга и кольца