Лабораторная работа № 23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫШТЕЙНЕРА
Цель работы:
Экспериментальное определение моментов инерции различных твердых тел с помощью измерения периода крутильных колебаний, и проверка теоремы Штейнера.
Оборудование:
Штатив со спиральной пружиной и приспособлением для крепления исследуемых тел, регистратор движения, электронный блок управления Cobra 3, набор тел различной формы, компьютер.
Продолжительность работы – 4 часа.
Теоретическая часть
Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением
(1)
где 
- элементарные («точечные») массы, на которые мысленно разбивается тело, 
- расстояния от этих масс до оси вращения (рис.1)
  
|
| Рис.1. К определению момента инерции (ось перпендикулярна плоскости чертежа) |
Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
, (2)
где 
и 
- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии 
от интересующей нас оси; 
- плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса R и массы m, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 2).
. (3)
При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси, совпадающей с его осью симметрии (рис.3), следует учесть, что величины 
в выражении 
не равны радиусу диска R, а изменяются для разных элементарных масс 
от 0 до R. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра
(4)
где 
- масса цилиндра.
   
| 
|
|
Рис. 2. Момент инерции кольца 
| Рис. 3. Момент инерции цилиндра 
| Рис.4 Момент инерции шара
|
Вычисление по формуле (2) момента инерции шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара (рис.4), дает результат:
. (5)
Другим типовым элементом конструкции твердых тел является стержень. Стержень массы m, имеющий длину L, изображен на рис.5.
| |||
| Рис.5 Схематическое изображение стержня |
Момент инерции стержня, вычисленный относительно оси Z, проходящей через его центр масс, равен:
(6)
Если определен момент инерции относительно некоторой оси Z, проходящей через центр масс тела, то, оказывается, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси Z. Правила этого расчета сформулированы в теореме Штейнера.
Согласно этой теоремы, момент инерции тела 
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела 
и параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями 
:
(7)
С помощью формул (3) – (6) можно рассчитать именно величины Iс предметов различной формы. Если интересует, например, момент инерции стержня относительно оси Z1, проходящей через один из его торцов (рис.5), то, в соответствии с (7):
(8) Для тел неправильной формы интегралы (2) могут быть найдены численными методами.
Экспериментально определить момент инерции можно, например, с использованием механического устройства, создающего крутильные колебания исследуемого тела. В данной работе крутильные колебания создаются с помощью спиральной пружины. Один конец этой пружины жестко связан с основанием штатива, другой прикреплен к вертикальному валу, ось которого совпадает с осью вращения тела. Вал может вращаться относительно основания без трения. В верхнем торце вала имеется приспособление для крепления исследуемого тела.
При повороте тела на угол φ пружина закручивается, и возникает момент сил M,который в широких пределах пропорционален углу закручивания:
(9)
где f – постоянная для данной пружины величина, называемая ее модулем кручения.
Если исследуемое тело повернуть на некоторый угол, а затем отпустить, в системе возникнут крутильные колебания, которые можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:
или 
(10)
Уравнение (10) тождественно дифференциальному уравнению второго порядка вида:
(11)
Если 
(12)
Известно, что решением уравнения (11) является функция:
(13)
где 
- амплитуда, а 
- начальная фаза колебаний.
Последнее утверждение легко проверить, подставив функцию (13) в уравнение (11).
Таким образом, чтобы экспериментально определить момент инерции тела I, нужно измерить период колебаний 
и знать модуль кручения f. Как следует из (12):
(14)
Описание установки
Фотография экспериментальной установки приведена на рис.6.
| ||||||||||||||
| Рис.6 Внешний вид экспериментальной установки |
Установка содержит штатив с основанием 1 в виде треноги. Положение исследуемого тела в горизонтальной плоскости можно регулировать с помощью винтов 2. На основании 1 установлен держатель 3 спиральной пружины 4. Вал 5, к которому прикреплен один конец спиральной пружины, укреплен в держателе 3 с помощью подшипников (на фотографии не видны). Другой конец пружины 4 жестко связан с держателем 3 и основанием 1. В верхней части вала 5 имеется приспособление 6 для крепления исследуемого тела 7. На рис.6 это тело - стержень с грузами 8, которые могут быть установлены на различных расстояниях от оси вращения.
В состав установки также входит регистратор движения 9, электронный блок управления 10 (Cobra 3), набор тел различной формы и компьютер 11. Движение вала 5 передается шкиву 12 регистратора движения 9 с помощью нити 13. Один конец нити намотан на вал 5., а к другому прикреплен небольшой (2-4 г) груз 14. Натяжение нити необходимо, чтобы отсутствовало ее проскальзывание относительно шкива 12 в процессе крутильных колебаний. С целью исключения возможного проскальзывания рекомендуется также делать один дополнительный оборот нити вокруг шкива 12.
При движении нити угол поворота шкива регистратора движения преобразуется в электрическое напряжение и через электронный блок 10 передается в компьютер. Программа автоматически рассчитывает угол поворота φ исследуемого тела, если задать диаметры вала 5 и шкива 12 регистратора движения.
Программное обеспечение позволяет вывести на экран монитора график слабо затухающих крутильных колебаний и с высокой точностью измерить период этих колебаний. Предусмотрены различные способы обработки экспериментальной информации. Детально эти возможности программы рассмотрены в Приложениях.
Экспериментальная часть.
Упражнение 1. Измерение моментов инерции тел различной формы.
- Выберите тела в соответствии с индивидуальным заданием.
- Измерьте необходимые для расчета момента инерции геометрические размеры тел.
- Воспользовавшись формулами
, рассчитайте теоретические значения моментов инерции 
и погрешности этих величин 
. При расчете погрешностей считайте, что погрешность массы 
. - Закрепите тело №1 на штативе.
- Измерьте период крутильных колебаний T по методике, изложенной в Приложении 1.
- Определите экспериментальное значение момента инерции
, воспользовавшись формулой (14). При расчете считайте, что для данной установки модуль кручения спиральной пружины 
. - Рассчитайте погрешность момента инерции
. Погрешность измерения времени с помощью используемого оборудования составляет 
. - Повторите пункты
упражнения 2 для тела №2. - Сделайте вывод по результатам упражнения 1.
Упражнение 2. Экспериментальная проверка теоремы Штейнера.
1. Закрепите на штативе металлический диск с отверстиями вдоль диаметра. Центр диска должен совпадать с осью вала 5.
2. Согласно методике, изложенной в Приложении 1, измерьте величину момента инерции 
относительно оси, проходящей через центр масс диска, и определите погрешность 
.
3. Закрепите диск на штативе так, чтобы с осью вала 5 совпадало соседнее с центром диска отверстие. Измерьте значение I. Определите погрешность этой величины 
.
4. Смещая центр диска относительно оси вращения на расстояние а, измерьте величины моментов инерции I для каждого варианта крепления диска.Рассчитайте погрешности моментов инерции.
5. Постройте график зависимости 
на миллиметровой бумаге или воспользуйтесь Приложением 2. На этот график нанесите также зависимость, рассчитанную при выполнении п. 3 раздела «Подготовка к работе»
6. Определите значение углового коэффициента 
графика и сравните его с массой диска. В пределах погрешности должно выполняться соотношение 
, где 
- масса металлического диска.
7. Сделайте вывод по результатам упражнения 3.
Индивидуальные задания
| № бригады | 1 и 7 | 2 и 8 | 3 и 9 | 4 и 10 | 5 и 11 | 6 и 12 |
| тело №1 | шар | цилиндр из пенопласта | полый металлический цилиндр | стержень без грузов | диск из пенопласта | шар |
| масса тела №1, г | ||||||
| тело № 2 | цилиндр из пенопласта | шар | стержень без грузов | диск из пенопласта | шар | стержень без грузов |
| масса тела №2, г |
Подготовка к работе.
1. Физические понятия.
ü поступательное движение;
ü вращательное движение;
ü момент силы относительно точки, относительно оси;
ü угловая скорость; угловое ускорение;
ü момент инерции; физический смысл момента инерции твердого тела;
ü моменты инерции тел правильной геометрической формы;
ü основное уравнение динамики вращательного движения;
ü теорема Штейнера;
ü крутильные колебания, модуль кручения
2. Выведите формулу для расчета момента инерции сплошного диска радиуса R и массы m.
3. Расчетное задание.
ü Рассчитайте и постройте график зависимости момента инерции диска радиуса 
и массы 
от 
, где a – расстояние от центра диска до оси вращения. Величину a варьируйте в пределах от 0 до 15 см.
4. Сформулируйте цель работы и порядок ее выполнения.
Примечание. Пункты 2, 3 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.
Литература
1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§1.2, 5.1, 5.4.
2. Савельев И.В. Курс общей физики.– М.: Астрель×АСТ, 2005; §§1.5, 5.3, 5.4, 5.5.
Приложение 1