Определение продольной и поперечной деформации

Вопросы:

Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Определение продольной и поперечной деформации. Закон Гука

Статически неопределимые задачи

Температурные напряжения

Монтажные напряжения

Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными (см. рис. 1).

Рис. 1

Все горизонтальные линии, например, cd переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т.е. "поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации". Эта важная гипотеза носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения, а касательные напряжения равны нулю. Если бы возникали касательные напряжения, то наблюдалась бы угловая деформация, и углы между продольными и поперечными линиями перестали бы быть прямыми. Если бы нормальные напряжения были не одинаковыми во всех точках сечения, го там, где напряжения выше, была бы и больше деформация, а следовательно, поперечные сечения не были бы плоскими и параллельными. Приняв гипотезу плоских сечений мы устанавливаем, что .

Поскольку продольная сила является равнодействующей внутренних сил , возникающих на бесконечно малых площадках (см. рис 3.2) ее можно представить в виде:

Рис. 2

Постоянные величины можно выносить за знак интеграла:

где А - площадь поперечного сечения.

Получаем формулу для нахождения нормальных напряженней при растяжении или сжатии:

(1)

Это одна из важнейших формул в сопротивлении материалов поэтому ее выделим в рамочки и также будем поступать в дальнейшем.

При растяжении положительно, при сжатии - отрицательно.

Если на брус действует только одна внешняя сила F, то

N=F,

и напряжения можно определять по формуле:

Определение продольной и поперечной деформации

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации связаны прямой зависимостью, называемой законом Гука:

(2)

где Е - модуль продольной упругости или модуль Юнга, измеряется в МПа, характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям, его значения приведены в таблицax справочника;

- относительная продольная деформация, величина безразмерная, так как:

; (3)

- абсолютное удлинение стержня, м;

l - первоначальная длина, м.

Чем выше значение модуля продольной упругости Е, тем меньше деформация. Например, для стали Е=2,1×10⁵МПа, а для чугуна Е=(0,75…1,6)×10⁵МПа, поэтому элемент конструкции из чугуна при одинаковых прочих условиях получит большую деформацию, чем со стали. Здесь не надо путать с тем, что доведенный до разрыва стержень из стали будет иметь значительно большую деформацию, чем чугунный. Речь идет не об предельной деформации, а об деформации в упругой стадии, т.е. без возникновения пластических деформаций, и при одинаковой нагрузке.

Преобразуем закон Гука, заменив из уравнения (3.3):

или

Подставим значение из формулы (1):

(4)

Мы получили формулу для абсолютного удлинения (укорочения) стержня. При растяжении положительная, при сжатии - отрицательная. Произведение ЕА называют жесткостью бруса.

При растяжении стержень становится тоньше, при сжатии - толще. Изменение размеров поперечного сечения называется поперечной деформацией. Например, у прямоугольного сечения до нагружения были ширина b и высота сечения h, а после нагружения - b₁ и h₁. Относительная поперечная деформация для ширины сечения:

для высоты сечения:

У изотропных материалов свойства одинаковы во всех направлениях. Поэтому:

При растяжении поперечная деформация отрицательна, при сжатии - положительна.

Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

(5)

Экспериментально установлено, что в упругой стадии работы любого материала значение и постоянно. Оно лежит в пределах 0£ £0,5 и для конструкционных материалов дается в таблицах справочника.

Из зависимости (5) можно получить следующую формулу:

(6)

При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении. Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия нужно четко разграничивать. Для стержня (см. рис. 3) определим величину деформации и построим эпюру перемещений.

Рис. 3

Как видно из рисунка отрезок стержня АВ не растягивается, но перемещение получит, так как удлинится отрезок СВ. Его удлинение равно:

Перемещения поперечных сечений обозначим через . В сечении С перемещение равно нулю. От сечения С до сечения В перемещение равно удлинению, т.е. возрастает пропорционально до в сечении В. Для сечений от В до А перемещения одинаковы и равны , так как этот отрезок стержня не деформируется.