МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Глава 5. Явления переноса.
До сих пор мы, как правило, рассматривали системы, находящиеся в состоянии термодинамического, или статистического равновесия. Однако, несмотря на безусловно важную роль равновесных состояний, они далеко не исчерпывают множество различных состояний системы, представляя особый случай. Во многих задачах, имеющих огромный физический и практический интерес, мы имеем дело с системами, не находящимися в равновесных состояниях.
Наука, изучающая процессы, идущие при нарушении равновесия, называется физической кинетикой. Физическая кинетика рассматривает необратимые процессы в телах, протекающие с конечными скоростями.
Рассмотрение неравновесных процессов, приводящих систему в состояние равновесия, представляет собой весьма сложную задачу. Поэтому мы подойдем к рассмотрению проблемы с помощью простейших приближенных методов, выбрав в качестве объекта исследования разреженный газ. Тем не менее, такой подход позволяет получить ясное представление о физической сути явлений. Более того, оказывается, что полученные таким образом результаты могут быть применены к рассмотрению неравновесных процессов в системах, находящихся в других фазовых состояниях (например, твердых телах), и с их помощью удается получить хорошие численные оценки в тех случаях, когда точные вычисления становятся весьма затруднительными.
Процессы, протекающие в неравновесных системах, называются процессами переноса.
Сущность процессов переноса – стремление системы достичь равновесного состояния. Характеристикой скорости процессов переноса является время релаксации – время, в течение которого система достигает равновесного состояния (время термолизации - время, за которое система возвращается к распределению Максвелла).
Мы будем рассматривать явления переноса только при малых отклонениях системы от равновесного состояния. Явления переноса можно классифицировать следующим образом:
а) внутреннее трение или вязкость - перенос импульса;
б) теплопроводность - перенос кинетической энергии (тепла);
в) диффузия - перенос массы.
Вообще говоря, явления переноса объединяют более широкий класс процессов. К ним также относится, например, перенос электрического заряда под действием внешнего электрического поля, называемый электропроводностью. Однако электропроводность, как и некоторые другие явления переноса, составляют тему отдельного обсуждения, которое будет проведено в следующем разделе курса.
Целью нашего рассмотрения является получение уравнений, описывающих протекание процессов в статистически неравновесных системах, состоящих из нейтральных атомов или молекул. При решении этих задач физическая кинетика исходит из представлений о молекулярном строении рассматриваемых сред и характере взаимодействия между частицами. Введем основные понятия, необходимые для количественного описания рассматриваемых явлений.
Эффективное сечение и длина свободного пробега.
1.1. Эффективное сечение.
Молекулы газа в процессе движения сталкиваются с другими молекулами, испытывая упругие и неупругие соударения. В результате упругих столкновений молекула может изменять направление движения, неупругие взаимодействия приводят к возбуждению, снятию возбуждения (девозбуждению), ионизации и другим последствиям.
Соответственно, различаются вероятности тех или иных процессов и расстояния, проходимые молекулами между столкновениями.
Для решения интересующей нас задачи используем модель, в которой будем считать налетающую частицу точечной, а частицу мишени имеющей такие размеры, что максимальная площадь, перпендикулярная направлению падающей частицы, равна 
, где 
эффективное сечение, вводимое в теории рассеяния для описания столкновения с определенным результатом.
Другими словами, воображаемая площадь подбирается такой, чтобы вероятность результата столкновения была равна вероятности того, что падающая частица, двигаясь прямолинейно без взаимодействия с другими частицами, попадет в площадку .
В курсе механики мы ввели понятие дифференциального сечения рассеяния
(1.1)
как отношения числа частиц 
, рассеянных в углы от 
до 
, к плотности потока 
падающих частиц (интенсивности пучка).
В нашем случае размеры молекул-мишеней можно задать посредством некоторого параметра.
Введем понятие эффективного радиуса молекулы по аналогии с радиусом твердого шара 
, на
котором рассеивается молекула, рассматриваемая как материальная
точка.
Для дифференциального сечения рассеяния на твердом шаре ранее мы получили
, (1.2)
а полное сечение рассеяния (выбывания частицы из начального пучка) равнялось
. (1.3)
где 
радиус твердого шара.
Как видно из рисунка 
, эффективный диаметр молекулы 
уменьшается с ростом температуры, но это изменение сравнительно мало. Поэтому можно записать эффективное сечение рассеяния молекул аналогично рассеянию на твердом шаре:
(1.4)
Поскольку в объеме, в котором движется молекула,
содержится не одна, а много молекул-мишеней газа, то
надо определить вероятность столкновения
налетающей молекулы с одной из молекул,
оказывающихся на пути её движения.
Пусть концентрация молекул мишени равна 
.
Тогда на пути 
в объеме с поперечным сечением 
содержится 
молекул мишени, которые в газе
практически не перекрываются, поэтому площадь,
определяющая рассеяние налетающей частицы на
промежутке (суммарное сечение рассеяния)
равна
.
Поэтому вероятность того, что частица попадет
в одну из молекул мишени, т.е. рассеется
. (1.5)
1.2. Длина свободного пробега. Распределение по длинам свободного пробега.
Длина свободного пробега – это путь, который проходит молекула за время между двумя последовательными столкновениями.
Используя выражение (1.5), можно провести сравнительно простое рассуждение, позволяющее определить среднюю длину свободного пробега молекулы.
Если эффективное сечение и концентрация частиц не зависят от координаты 
, то вероятность столкновения растет пропорционально . Длина пути, на которой вероятность столкновения рассматриваемой молекулы с другими молекулами газа 
равна единице, и есть средняя длина свободного пробега
, (1.6)
откуда имеем для средней длины свободного пробега, обозначаемой 
:
. (1.7)
Поскольку каждая молекула движется хаотически, а все молекулы газа статистически распределены по объему, то иногда молекуле между двумя последовательными соударениями удается преодолеть довольно большое расстояние, в других случаях это расстояние может быть весьма малым. Т.о., длина свободного пробега является случайной величиной и должна подчиняться статистическим закономерностям. Поэтому под длиной свободного пробега мы должны понимать среднее значение пути, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями.
Найдем распределение по длинам свободного пробега и среднюю длину свободного пробега молекулы, используя методы статистической физики.
Рассмотрим движение пучка молекул в направлении оси . По мере продвижения частицы, испытавшие соударения с молекулами мишени, в которой они распространяются, будут “выбывать” из пучка.
Пусть число частиц, которые пролетели расстояние 
без столкновения, равно 
, а расстояние
,
где 
число частиц пучка, столкнувшихся с молекулами мишени на промежутке от до 
.
Тогда относительное число частиц, «выбывших» из пучка
на участке 
, равно
(1.8)
Знак “минус” в формуле (1.8) показывает, что число
частиц в пучке убывает с ростом .
Обозначим 
.
Теперь (1.8) имеет вид
Интегрируем (1.8) и, учитывая, что число падающих на мишень частиц (при 
) равно 
, получаем число молекул , проходящих путь без столкновений
(1.9)
Тогда вероятность молекуле пройти путь , не испытав столкновений, равна
(1.10)
Вероятность того, что частица испытает столкновение на участке от до :
.
Число частиц , выбывающих из пучка на промежутке , находится дифференцированием выражения (1.9) по :
Тогда
(1.11)
Итак, функция распределения 
по длинам свободного пробега молекул (плотность вероятности) имеет вид:
(1.12)
Условие нормировки записывается в виде:
(1.13)
Вычислим, используя полученную функцию распределения, длину свободного пробега молекул
,
(1.14)
Но этот результат справедлив в предположении, что все молекулы мишени неподвижны.
1.3. Учет движения молекул мишени.
 |
Движение рассеиваемой молекулы можно
представить как полет внутри некоего туннеля –
коленчатого цилиндра радиусом .
Объем коленчатого цилиндра (при 
)
равен
.
Число столкновений, которые испытает интересующая нас молекула, равно числу молекул мишени, попавших в объем такого цилиндра:
, (1.15)
где 
концентрация молекул газа.
Если бы все молекулы в объеме были неподвижны, то под средней скоростью 
следовало бы понимать среднюю скорость налетающей частицы. Однако все молекулы газа находятся в непрерывном движении, поэтому среднюю скорость следует рассматривать как среднюю скорость движения молекул относительно друг друга, т.е. 
. По определению относительная скорость равна:
(1.16)
где 
угол между векторами скоростей 
и 
(налетающей молекулы и молекулы-мишени).
Чтобы найти среднее значение относительной скорости , можно использовать распределение Максвелла по скоростям. Однако при этом придется производить довольно сложные вычисления, поэтому мы воспользуемся более простым приемом.
.
Поскольку 
и все значения угла 
равновероятны (скорости сталкивающихся молекул могут быть с одинаковой вероятностью направлены под любым углом друг к другу), то 
.
Далее, используя тот факт, что все молекулы одинаковы и 
, получим
.
Тогда число соударений, определяемое средней скоростью относительного движения молекул, за время 
будет равно
.
Средняя длина свободного пробега может быть представлена как отношение пути, пройденного молекулой за время к числу столкновений с молекулами газа за тот же промежуток времени.
. (1.17)
Отсюда средняя длина свободного пробега молекулы:
Примечание:
1). Если температура постоянна 
, то средняя длина свободного пробега 
, т.к. давление связано с плотностью (концентрацией молекул) простым соотношением 
.
2). При нормальных условиях 
, 
, 
газа занимает объем 
. Отсюда 
. Диаметр молекулы составляет примерно 
. Тогда длина свободного пробега и частота столкновений равны, соответственно
; 
.
2.1. Средняя длина свободного пробега в одном направлении.
Рассмотрим теперь одномерную задачу, т.е. нас будет интересовать пробег, совершаемый молекулой вдоль выделенного направления, поскольку именно эта величина представляет практический интерес при нахождении уравнения переноса.
Рассмотрим объем 
, испытав столкновение в котором, молекулы могут достичь площадки 
.
Пусть объем содержит 
молекул, испытавших в нем столкновение
.
Тогда, во-первых, доля молекул, летящих после столкновения к площадке , равна отношению телесного угла, под которым видна эта площадка из объема к полному телесному углу:
.
Во-вторых, доля молекул, долетевших до
площадки (без столкновения), убывает с
ростом 
как 
(см. (1.9)).
Тогда полное число молекул, не испытавших
на пути из элементарного объема
столкновений и пересекших площадку ,
определяется как
(2.1)
Выразим теперь для удобства вычислений
объем в сферических координатах
и запишем вероятность 
молекуле долететь из объема до площадки , избежав столкновений с другими молекулами,
, (2.2)
где 
нормировочная постоянная.
Расстояние вдоль оси 
между двумя последовательными столкновениями находится как проекция длины на ось :
Тогда среднее расстояние по оси определяется стандартным образом (в знаменателе стоит нормировочный интеграл):
. (2.3)
. (2.4)
Т.о., мы нашли, что среднее расстояние, пролетаемое молекулой в направлении оси после последнего столкновения до пересечения площадки (средняя длина свободного пробега вдоль оси ), составляет 
от среднего значения длины свободного пробега.