Интегрирование тригонометрических функций




Лекции 17-18 Классы интегрируемых функций

Содержание лекции: Интегрирование основных классов функций: рациональных функций, тригонометрических функций.

Интегрирование иррациональных функций. «не берущиеся» интегралы.

 

Интегрирование рациональных функций

В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.

Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции. Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности. Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида

.

Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. (А, а – константы)  

II. , (k ³ 2 целое число)

III. (М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)

IV. (k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)

 

Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,

I. ,

II. ,

III.

.

Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых - табличный:

,

 

а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:

.

Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.

Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.

Пример 1.

Найти: а) ; б) ; в) ; г)

Решение.

а) ;

б)

;

в)

= ;

г)

.

 

Пример 2.

Найти

Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:

,

тогда = х – 1 + .

Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:

=

.

Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим

х 2 А + В = 0

х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1, С

св.чл. А + С = 5.

Значит, = . Тогда, искомый интеграл равен

=

=

= .

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

при , ,

х = 2arctg t, ,

то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

Функцию R(u (x), v (x)) называют нечетной относительно функции и (х), если R(– u, v) = –R(u, v);

функция R(u (x), v (x)) называют нечетной относительно функции v (х), если R(u, – v) = –R(u, v);

функция R(u (x), v (x))– четная относительно и (х), если R(– u, v) = R(u, v);

функция R(u (x), v (x)) – четная относительно v (х), если R(u, – v) = R(u, v);

если R(– u, – v) = R(u, v), то функция R(u (x), v (x)) четная относительно обеих функций u и v.

А) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – нечетная относительно sin x, то ее можно представить в виде R 1(cos x)sin x, тогда используется подстановка cos x = t:

= .

Б) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – нечетная относительно cos x, то ее можно представить в виде R 1(sin x)cos x, тогда используется подстановка sin x = t:

= .

В) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – четная относительно sin x и cos x, то она может быть преобразована к виду R 1(tg x) или R 2(сtg x), поэтому используется подстановка tg x = t или ctg x = t соответственно:

=
= .

Рассмотрим примеры.

Пример1.

1) Найти . Используем универсальную подстановку:

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sin x. Действительно,

R (–sin x, cos x) = = – R (sin x, cos x),

поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t = cos x:

.

3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sin x и cos x:

,

поэтому удобно сделать подстановку t = tg x. Получим

.

Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные, то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:

В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.

Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул

 

Рассмотрим примеры.

Пример2.

1)

2) .

3) .

Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: