ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При исследовании эволюции экономических систем эффективными являются модели, где независимой переменной является время t. В таких моделях применяется аппарат теории дифференциальных уравнений.
Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию у и ее производные называется дифференциальным уравнением:
или
Определение 2. Порядок “старшей” производной называется порядком дифференциального уравнения.
Решить дифференциальное уравнение – это значит, определить функцию , удовлетворяющее этому уравнению.
Простейшее дифференциальное уравнение вида мы уже решали, так как находили
. Мы знаем, что интеграл определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. То есть решение простейшего дифференциального уравнения содержит произвольную постоянную. Решения более сложных дифференциальных уравнений также находятся с точностью до произвольных постоянных (возможно, нескольких). Конкретная функция, удовлетворяющая заданному уравнению, называется его частным решением. Решение, содержащее всевозможные произвольные постоянные, называется общим решением.
Число произвольных постоянных в общем решении равно порядку дифференциального уравнения.
Пример 1.
Представим Тогда
или
Отсюда
Интегрируя, получим:
Общее решение:
Дифференциальное уравнение первого порядка
С разделяющимися переменными
Так называются уравнения вида . Запишем производную в виде отношения дифференциалов:
и разнесем в разные части выражения, содержащие
и
. Мы получим равенство двух дифференциалов:
. После интегрирования правой части по
, а левой – по
мы получим слева функцию, зависящую от
, а справа – функцию, зависящую от
, отличающиеся на константу:
.
Пример 2.
Подставим
Отсюда Подставим в общее решение:
Демографическая задача. Модель Мальтуса
Пусть в момент времени t численность населения (или популяции биологическихобъектов: бактерий, вирусов, диких животных) составляет N (t),
а в некоторый фиксированный момент времени t 0 составляет N 0, причем N 0 – известная величина. Необходимо определить закон изменения во времени численности населения.
Производная – скорость изменения численности населения N (t). Если
то N (t) возрастает, а если
то N (t) убывает. Так как
скорость изменения численности населения пропорциональна самой численности населения N (t), то динамика численности населения описывается
дифференциальным уравнением
(1)
где = const – параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Преобразуем уравнение (1).
=
или
=
Отсюда .
Интегрируя, получим: . Тогда общее решение уравнения (1) запишется в виде:
. (2)
Так как при t =t 0 N = N 0, то из (2) следует . Поэтому окончательно получаем:
(3)
Найденное решение описывает закономерности изменения численности популяции, радиоактивного распада, процесса размножения бактерий, вирусов и т.д.
Актуальность демографической задачи для экономики заключается в том, что ее решение в масштабах региона или целого государства позволяет определять приток трудовых ресурсов в будущем.