Сама задача, которую нужно запрограммировать)
Найти напряжённость магнитного поля, при которых заданное конечное значение температуры в центре нагреваемого тела достигаются за минимальное время и термонапряжения не превосходят заданного предела прочности.
Поле термонапряжений в нагреваемом теле описывается следующими соотношениями:
= 
(1.7)
= 
(1.8)
= 
(1.9)
где
- коэффициент линейного расширения,
E – модуль упругости,
- Пуассоновское отношение (для стали = 0,3),
, , - соответственно радиальное, тангенциальное и осевое напряжения.
Расчёт распределения температур в нагреваемом теле.
Уравнения (1), (6) решаются аналитически. При этом решение имеет вид
= 
, (2.1)
= 
, (2.2)
где
= 1 - 
+ 
… - действительная часть бесселевой функции 
,
= 
- 
+ 
… - мнимая часть бесселевой функции 
).
Модули для и имеют вид
, (2.3)
(2.4)
где 
- глубина проникновения тока,
, (2.5)
где 
- удельное сопротивление материала,
,
f – частота тока,
m = 
,
– напряжённость магнитного поля на поверхности нагреваемого изделия,
(2.6)
(2.7)
Запишем уравнения (1.1) – (1.4) в безразмерных единицах. С этой целью введём безразмерные переменные
t = 
, r = 
, 
, (2.8)
где 
– действующее значение напряжённости магнитного поля на поверхности нагреваемого изделия.
Уравнение (1.1) в безразмерных координатах будет иметь вид
(2.9)
где 
(2.10)
Начальное и граничные условия (1.2), (1.4) перепишутся в виде
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Применяя к уравнению (2.9) интегральное преобразование Ханкеля с учётом граничных условий (2.12), (2.13), получим
+B 
(2.14)
где 
(2.15)
Уравнение (2.14) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка вида
Решение этого уравнения находится методом вариации постоянной и имеет вид 
(2.16)
Переход от изображения к оригиналу осуществляется по формуле
(2.17)
где 
- корни уравнения
Подставив в (2.17) 
из (2.16), получим
+ 
(2.18)
где
Если распределение температуры в начальный момент времени равномерное (
то при идеальной теплоизоляции на поверхности 
решение (2.18) можно переписать в виде
(2.19)
Расчёт температурных напряжений.
Как было отмечено в постановке задачи, при нагреве цилиндрического тела возникают три вида напряжений: радиальные, тангенциальные и осевые. На рисунке 1 условно показано как деформировалось бы тело при нагреве, если бы оно состояло из отдельных пластин и, следовательно, показано как возникают и какие имеют знаки эти напряжения.
Введём безразмерные переменные:
(3.1)
Сделав в формулах (1.7) – (1.9) замену переменной 
перепишем их в виде
.
Подставив в данные соотношения 
из (2.18), получим
При идеальной теплоизоляции на поверхности
(3.2)
(3.3)
(3.4)
где 
- функция Бесселя нулевого порядка,
- функция Бесселя первого порядка.
Расчёт напряжённости магнитного поля.
Предположим, что частота – заданная величина. Найдём величину напряжённости магнитного поля, при которой нагрев осуществляется за минимальное время и не происходит разрушение нагреваемого тела.
Разрушение изделия происходит в тех местах, где скалывающие напряжения 
= 
, 
= 
= 
не превосходят предела текучести, а одно из главных напряжений 
не превосходят величину хрупкой прочности.
В случае равенства по величине и по знаку всех трёх главных напряжений, разрушение изделия происходит тогда, когда величина этих напряжений превысит напряжение отрыва.
Анализ формул (3.2) – (3.4) показывает, что 
Следовательно, наибольшим по величине является осевое напряжение, ибо на оси и на поверхности все три напряжения совпадают по знаку. Таким образом, можно ожидать, что напряжение 
ранее достигнет хрупкой прочности, чем одно из скалывающих напряжений примет значение предела текучести.
Поэтому при нагреве должны быть выполнены условия
(4.1)
(4.2)
для любого t > 0, где
,
– заданный предел хрупкой прочности.
Воспользовавшись формулой (3.4) найдём
(4.3)
С учётом (4.3) неравенства (4.1) и (4.2) перепишем в виде
Найдём величину 
Тогда величина напряжённости магнитного поля определяется из равенства
(Пример для проверки)
Определить напряжённость магнитного поля, при которой ось сплошной цилиндрической заготовки из сплава ЖС6У за минимальное время прогреется до заданной температуры Т=915˚С. При этом требуется, чтобы температура на поверхности не превышала 1100˚С и, чтобы в процессе нагрева изделие не разрушилось под воздействием термонапряжений.
Ниже представлена зависимость предела хрупкой прочности от температуры:
| Температура, ˚С | |||||
| Предел прочности, МПа | 210-240 | ||||
| Сжатие/растяжение |
Табличная зависимость предела прочности от температуры была аппроксимирована методом наименьших квадратов логарифмической функцией. Результаты расчётов в зависимости от параметра R в безразмерных единицах следующие:
| R | 2,18 | 3,746 | 4,682 | 5,619 | 6,556 |
| H˚ | 0,1190 | 0,09318 | 0,06708 | 0,05963 | 0,05418 |
| r | 5,798 | 11,329 | 19,597 | 30,604 | 44,134 |
Для получения значений R, H˚ и r в размерных единицах необходимо сделать соответствующий перерасчёт по формулам.
Для сплава ЖС6У:
γ=23,3 Вт/(м*град);
а=8,3*10³ кг/м³;
ρ=0,1125*10 Ом*м;
µ=1;
Е=0,145*10 Н/м²;
α=0,15*10 1/град;
с=67 Дж/(кг*град).
Если радиус цилиндра R=0,25м, то при нагреве на промышленной частоте 50Гц, т.е. при ω=100πГц относительный радиус R=4,682. Следовательно, в соответствии с приведёнными выше данными минимальное время нагрева составляет 3,65ч, которое обеспечивается действующим значением напряжённости магнитного поля на поверхности Н=64576 А/м.