МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ
Кафедра «Автоматизации и управления»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по дисциплине
«Идентификация и диагностика систем»
к лабораторной работе
«ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ МНК»
Составители: доц. Говорков Д.А.
Тюмень 2011
Содержание
Обратная задача моделирования. Метод наименьших квадратов 3
Приведение модели системы к линейно-регрессионному виду 8
Построение алгоритма идентификации и проверка результатов 10
Задания к лабораторной работе 14
Обратная задача моделирования. Метод наименьших квадратов
Рассмотрим динамическую систему, модель которой представляется функциональной зависимостью 
, где 
- выходной (измеряемый) сигнал, 
- входная управляющая переменная, 
- совокупность параметров модели.
Прямая задача моделирования: пусть сигнал управления задан на некотором интервале времени 
, известна функция модели F и определенны ее параметры с.
Необходимо определить значение выхода на указанном периоде времени при заданных начальных условиях (н.у.) выходной функции 
и ее производных (если потребуется).
Рис. 1 Структурная схема задачи прямого моделирования
Обратная задача моделирования (идентификация): известно значение сигнала управления на интервале времени и известна реакция системы на это управление – т.е. измеренный сигнал переходного процесса на выходе .
Необходимо определить вид функции F (идентификация в большом) или параметры модели с (идентификация в малом). Для идентификации в малом необходимо построить алгоритм 
оценивания параметров модели 
на основе данных измерений входного и выходного сигналов модели.
 |
Рис. 2 Структурная схема идентификации
Одним из распространенных методов идентификации динамических систем является метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим динамическую систему, заданную дифференциальным уравнением (иначе - в виде передаточной функции):
(1)
(
, 
- коэффициенты, 
, 
) или в виде:
где 
- оператор производной, Перепишем это уравнение, оставляя в левой части выходной сигнал :
иначе:
(2)
где введены следующие обозначения: 
,
- вектор параметров,
- вектор регрессионных переменных
По-сути мы получили модель в виде 
, при этом параметры описываются вектором 
, а функция 
описывает линейную зависимость между параметрами и производными входного и выходного сигналов. Запись модели в виде (2) называется записью в линейно-регрессионном виде.
При решении задачи идентификации, параметры модели (1) (и соответственно (2)) являются неизвестными и подлежащими определению. Пусть сигнал и регрессионные переменные 
- доступны к измерению (известны) на периоде 
. Будем искать оценку параметров 
. Для этого построим оценку выхода модели (2) с использованием оценки параметров 
и измеряемых регрессоров 
: 
. Запишем квадратичное уравнение невязки и будем искать его минимум:
Данная запись означает, что минимальное отклонение (по квадратичному критерию) измеряемого выхода от его оценки 
для всех значений времени 
достигается при точных оценках параметров .
Для поиска минимума критерия находим его производную по вектору и приравниваем его к нулю:
по правилу: 
()
отсюда по правилу дифференцирования сложных функций 
:
по правилу: 
и окончательно:
или в матричном виде (т.е. в виде системы линейных алгебраических уравнений):
(3)
где 
(
означает запись симметричного относительно диагонали элемента).
.
Тем самым решение задачи идентификации по схеме МНК будет получаться на основе решения системы уравнений (3), которое дает искомые оценки вектора параметров в виде:
, (4)
где 
- обратная матрица к .
Пример № 1. Пусть динамическая система задана уравнением второго порядка:
или в операторном виде:
Оставляя в левой части переменную , запишем:
или в линейно-регрессионном виде (2):
,
Переходя к дискретному времени, получим:
,
Решающее уравнение схемы МНК запишется в виде 
,
