Комплексное действующее значение тока в цепи

Теоретические сведения

Для последовательного колебательного контура (рис 4.1,а) на основании

 

Рис. 4.1. Схема последовательного колебательного контура (а),

его АЧХ (б) и ФЧХ (в)

 

второго закона Кирхгофа для комплексных действующих значений напряжений можно записать

U = U _R + U _L + U _C = R I + jwL I - j(1/wC) I = [R + j(wL - 1/wC)] I = ZI.

Комплексное действующее значение тока в цепи

I = U / Z, (4.1)

где Z = U / I = R+j(wL - 1/wC) = R+j(X_L-X_C) = R+jX = Ze^jj -(4.2) комплексное сопротивление контура;

; (4.3)

- полное сопротивление контура;

j = j_u - j_i = arc tgX/R = arc tg(X_L-X_C)/R = arc tg(wL -1/wC)/R- (4.4)

- сдвиг фаз между напряжением и током (аргумент комплексного сопротивления).

При резонансе напряжений (PH) j = 0, что возможно, когда реактивное сопротивление контура равно нулю

X = X_L - X_C = w₀L - 1/w₀C = 0, (4.5)

откуда резонансная угловая частота

w₀=1/ . (4.6)

Угловой частоте w₀ соответствует частоте резонанса

f₀ =1/2p (4.7)

и длине электромагнитной волны l= c/f₀=2pc ,

гдес = 3.10⁸ м/с– скорость света.

На резонансной частоте индуктивное сопротивление равно ёмкостному и равно характеристическому сопротивлению контура

X_L0 = X_C0 =w₀L=1/ w₀C =()² =r =R_C.

Величина r =R_C= носит название характеристического сопротивления колебательного контура.

При PH сопротивление контура носит чисто резистивный характер и имеет минимальное значение Z ₀ =R,

а ток в контуре – максимальное значение I₀ = U/R.

Важнейшим параметром последовательного колебательного контура является его добротность

Q = r/R = /R. (4.8)

Добротность показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах L и C превышает входное напряжение U на резонансной частоте. Действительно

U_L0/U = U_C0/U = I₀w₀L/U = I₀/w₀CU = r/R = Q. (4.9)

Величина d, обратная добротности, называется затуханием колебательного контура

d=1/Q. (4.10)

Зависимость действующего значения тока в контуре от частоты определяется выражением

I(w)= = . (4.11)

Зависимости I(w),U_R(w),U_L(w) и U_C(w) называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) или резонансными характеристиками. Они определяются по формулам

U_R(w) = RI(w); U_L(w) = wLI(w); U_C(w) = (1/wC)I(w) (4.12)

На рис. 4.1,б изображены АЧХ, определяемые выражениями (4.12) и на рис. 4.1,в – ФЧХ j(w), определяемая по формуле (4.4).

Анализ зависимости U_R(w) показывает, что напряжение на сопротивлении U_R(w) имеет максимальное значение на резонансной частоте w₀ и равно входному напряжению U_R0=U.

Напряжения индуктивности U_L0(w) и емкости U_C0(w) при резонансе равны между собой и в Q раз больше входного напряжения (см. рис. 4.2,б)

U_L0= U_C0= rI₀=U(r/R)= UQ. (4.13)

Максимальные значения напряжений на ёмкости и индуктивности немного больше резонансного и равны между собой

U_Cmaks= U_Lmaks= (4.14)

и получаются соответственно на частотах (см. рис.4.2,б):

w_C=w₀ ; w_L=w₀ . (4.15)

С увеличением добротности Q частоты w_C и w_L приближаются к резонансной частоте (w_C»w_L»w₀) и максимальные значения напряжения на ёмкости и индуктивности приближаются к их резонансному значению

U_Lmax= U_{c max} » QU. (4.16)

Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса принято оценивать абсолютной

Dw = w - w₀, (4.17)

относительной

d = Dw/w₀ = Df/f₀ (4.18)

и обобщённой рас стройкой

=X/R= =(w₀L/R)(w/w₀ -w₀/w)=Q(w/w₀ -w₀/w). (4.19)

При небольших f, абсолютных расстройках Δf=f-f₀обобщённая расстройка может быть определена по приближённой формуле ξ 2QΔf/f₀.

Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется обобщённая расстройка , т.к. её использование существенно упрощает расчёт. Например, выражение для АЧХ тока (4.11) и сдвига фаз между напряжением и током можно записать через обобщённую расстройку в виде:

I= ; (4.20)

j = arc tg .

Важной характеристикой колебательного контура является его полоса пропускания (ПП), под которой понимается область частот вблизи резонанса, где ток в контуре имеет значение не меньше максимального значения I₀ (рис.4.2). На граничных частотах ПП выполняется условие:

n(ξ)= I/I₀ = , (4.21)

откуда = X/R = ±1.

Таким образом, на границах ПП реактивное сопротивление по абсолютной величине равно активному сопротивлению.

 

 

Рис.4.2. К определению ПП колебательного контура (а), зависимость формы резонансной кривой от добротности (б).

Из решения уравнения = Q(f/f₀ - f₀/f) = ±1

получим формулы для определения граничных частот ПП f₁ и f₂.

f_1,2 = f₀ » f₀(1±1/2Q). (4.22)

Абсолютная ширина ПП (см. рис. 4.2.) колебательного контура

S_а = f₂ - f₁ = f₀/Q = df₀ , (4.23)

относительная ширина ПП.

S₀ = (f₂ - f₁)/f₀ = 1/Q = d. (4.24)

Уравнение (4.23) используется для экспериментального определения добротности колебательного контура по экспериментально измеренным значениям резонансной частоты f₀ и абсолютной ширине ПП f₂ -f₁

Q = f₀/(f₂ - f₁). (4.25)

Добротность контура снижают внутреннее сопротивление источника (генератора) сигнала R _i (рис. 4.3) и сопротивление нагрузки R_н, подключённая параллельно ёмкости (рис.4.3), либо индуктивности.

 

 

Рис. 4.3. Схема подключения колебательного контура

к источнику Е, R _i и нагрузке R_н

 

При R_н>>r эквивалентная добротность колебательного контура с учётом влияния R_i и R_н определяется по формуле

 

Q_э = r /(R + R_i +r²/ R_н) (4.26)

Предварительный расчёт

2.1. Для заданных параметров колебательного контура (рис.4.1,а) (см. табл. 4.1) рассчитать резонансную частоту f₀, характеристическое сопротивление r, добротность Q, затухание d и абсолютную ширину ПП. Результаты расчёта занести в табл. 4.2

Таблица 4.1