Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выполняется с помощью второй теоремы двойственности:
если Yi > 0, то , i=1,…,m;
если , то Yi = 0, i=1,…,m.
Ресурсы «труд» и «оборудование» имеют отличные от нуля оценки 4/3 и 1/3 — эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:
7Х1 + 2Х2 + 2Х3 + 6Х4 ≤ 80,
2Х1 + 4Х2 + Х3 + 8Х4 ≤ 130,
7 ∙ 0 + 2 ∙ 30 + 2 ∙ 10 + 6 ∙ 0 = 80 = 80,
2 ∙ 0 + 4 ∙ 30 + 1 ∙ 10 + 8 ∙ 0 = 130 = 130.
Ресурс «сырье» используется не полностью (280 < 480), поэтому имеет нулевую двойственную оценку (Y2 = 0).
5Х1 + 8Х2 + 4Х3 + 3Х4 ≤ 480,
5 ∙ 0 + 8 ∙ 30 + 4 ∙ 10 + 3 ∙ 0 = 280 < 480.
Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции. Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида составит 150 тыс. руб.:
F = 80 ∙ Y1 + 480 ∙ Y2 + 130 ∙ Y3 = 80 ∙ 4/3 + 480 ∙ 0 + 130 ∙ 1/3 = 150 тыс. руб.
Нулевая оценка ресурса «сырье» свидетельствует о его недефицитности. Недефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов (в задаче они составляют 480 кг), а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию F(X).
Замечание. Ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.
Анализ эффективности отдельных изделий выполняется на основе соотношений второй теоремы двойственности:
если Хj > 0, то , j=1,…,n;
если , то Хj = 0, j=1,…,n.
Поясним равенство нулю Х1 и Х4. Если изделие вошло в оптимальный план (Xj > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В рассматриваемой задаче - это ковры второго и третьего видов.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В рассматриваемой задаче в план выпуска не вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10 - 3 = 7) тыс. руб. и 9,666 (10,666 - 1 =9,666) тыс. руб. соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:
7∙4/3 + 5∙0 + 2∙1/3 = 30/3 = 10 > 3,
2∙4/3 + 8∙0 + 4∙1/3 = 12/3 = 4 = 4,
2∙4/3 + 4∙0+1∙1/3 = 9/3 = 3 = 3,
6∙4/3 + 3∙0 + 8∙1/3 = 32/3 = 10,666 > 1.
Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость.
3. Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значения целевой функции (чувствительность решения к изменению запасов сырья)
Пусть запас ресурса «труд» изменился на 12 ед., т.е. теперь он составляет 80 + 12 = 92 ед.
Из теории двойственности задач линейного программирования известно, что колебание величины bi в пределах интервала устойчивости (когда двойственные оценки остаются неизменными) приводит к увеличению или уменьшению целевой функции ΔF:
ΔF=Δbi ∙ уi.
В рассматриваемой задаче увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 16 тыс. руб. (ΔF=Δbi ∙ уi = 12∙ 4 /3 = 16).
Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости (см. рис.2.2), откуда видно, что запасы дефицитных ресурсов «труд» и «оборудование» могут быть как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса ресурса «сырье» не влияет на план выпуска продукции.
Рис. 2.2. Измененный Отчет по устойчивости
После увеличения запаса ресурса «труд» до 92 человеко-часов было получено новое решение задачи. Изменение запасов ресурсов в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок привело не только к изменению значения целевой функции на 16 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились. Новый план выпуска составляет 28 ковров второго вида и 18 ковров третьего вида. Изменение общей стоимости продукции на 16 тыс. руб. (24 - 8 = 16) получено за счет уменьшения плана выпуска на 2 ед. ковров второго вида по цене 4 тыс. руб. (4 ∙ (28 - 30) = -8 тыс. руб.) и увеличения на 8 ед. плана выпуска ковров третьего вида по цене 3 тыс. руб. (3 ∙ (18 - 10) = 24 тыс. руб.).