Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому.




 

Пусть дана система векторов { а 1, а 2, …, а k } линейного пространства L и известны координаты этих векторов в некотором базисе Б:

а 1= (а 11, а 21, …, ап 1),

а 2= (а 12, а 22, …, ап 2),

..................

а k = (а 1 k, а 2 k , …, апk).

Рассмотрим матрицу этой системы векторов, т.е. матрицу, столбцы которой есть координаты векторов системы в заданном базисе:

.

Оказывается, с помощью ранга матрицы системы векторов можно сделать вывод о линейной зависимости или независимости этих векторов. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3

Для того чтобы k векторов п -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен k.

Как уже отмечалось, координаты вектора зависят от выбранного базиса. Рассмотрим два базиса Б1:{ а 1, а 2, …, а п } и Б2:{ } линейного пространства L. Так как векторы и есть векторы одного и того же линейного пространства L, то векторы базиса Б2 можно разложить по базису Б1. Пусть эти разложения имеют вид

откуда

Определение 3

Матрица векторов базиса Б2 в базисе Б1 называется матрицей перехода от базиса Б1 к базису Б2 и обозначается или просто Т.

. (2.2)

Матрица перехода от одного базиса к другому есть невырожденная квадратная матрица.

Рассмотрим произвольный вектор х линейного пространств L. Пусть известны координаты этого вектора в базисе Б1 и в базисе Б2:

х , х .

Обозначим соответствующие координатные столбцы и . Тогда имеют место формулы преобразования координат:

= и = × ,

или в матричной форме

Х = ×Х , Х = ×Х .

 

Лекции 17 Евклидово пространство

 

Содержание лекции: Евклидово пространство. Ортонормированный базис. Понятие метрического пространства. Метрическое пространство R n.

 

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а, b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и удовлетворяющее условиям

1. (а, b) = (b, а),

2. (а + с, b) = (а, b) + (с, b),

3. (a а, b) = a(а, b)

4. > 0 " а ¹ 0 и = 0 Û а = 0,

то это правило называется скалярным умножением, а число (а, b) называется скалярным произведением вектора а на вектор b.

Число называют скалярным квадратом вектора а и обозначают , т. е. .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения: первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности, четвертое – положительной определенности, а условие Û называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V2 и V3 являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

.

· В линейном пространстве R п (x) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов и можно ввести по формуле

.

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

1) .

2) Рассмотрим . Пусть , тогда

.

3)

.

4) . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, , если многочлен не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Û когда , что означает .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство определяет скалярное умножение векторов пространства R п (x), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве R n скалярное умножение вектора на вектор может быть определено по формуле

.

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве L n произвольный базис { а 1, а 2, …, а п }. Пусть в этом базисе

а = a1 а 1+ a2 а 2+ …+ a п а п и b = b1 а 1 + b2 а 2 + …+ b п а п.

Положим

(а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ a п b п. (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ a п b п = b1a1+ b2a2+ …+b п a п = (b, а),

2) Если ,то

.

Тогда

(а + с, b) =

= (а, b) + (с, b).

3. (l а, b) = (la1)b1+ (la2)b2+ …+ (la п)b п = la1b1 + la2b2 + …+ la п b п =

= l(a1b1) + l(a2b2) + …+ l(a п b п) = l (а, b).

4. " а ¹ 0 и тогда и только тогда, когда все a i = 0, т.е. а = 0.

Следовательно, равенство (а, b) = a1b1 + a2b2 + …+ a п b п определяет в L n скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ a п b п для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b. Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным.

Определение 3

Нормой вектора а евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают || а ||, или [ а ], или | а |. Итак, то определению,

|| а || .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. || а || = 0 Û а = 0.

2. ||a а ||= |a|.|| а || "a ÎR.

3. |(а, b)| £ || а ||.|| b || (неравенство Коши - Буняковского).

4. || а + b || £ || а || + || b || (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V2 и V3 с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора ` а есть его длина

||` а || = |` а |.

В евклидовом пространстве R n со скалярным умножением норма вектора равна

|| a || = .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным (или единичным), если его норма равна единице: || a || = 1.

Если а ¹ 0, то векторы и – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора а соответствующего ему единичного вектора (или ) называется нормированием вектора а.

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

, откуда ,

поэтому отношение можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j <p), для которого cosj = , называется углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = = arccos .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

= 0.

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0. а, то (0, b) = (0. а, b) = 0.(а, b) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а 1, а 2, …, а т евклидова пространства называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(а i, а j) = 0 " i ¹ j, i, j =1,2,…, m.

Система векторов а 1, а 2, …, а т евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(а i, а j) = , i, j = 1,2, …, m.

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если – ортогональная система ненулевых векторов, то система полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п -мерном евклидовом пространстве () существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис { а 1, а 2, …, а n }, по нему построим ортогональный базис { g 1, g 2, …, g n }, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим . Тогда система векторов { е 1, е 2,…, е n } образует ортонормированный базис.

Итак, пусть Б:{ а 1, а 2, …, а n } – произвольный базис рассматриваемого пространства.

1. Положим

g 1 = а 1, g 2 = а 2 + g 1

и подберем коэффициент так, чтобы вектор g 2 был ортогонален вектору g 1, т.е. (g 1, g 2) = 0. Поскольку

,

то из равенства находим = – .

Тогда вектор g 2 = а 2 g 1 ортогонален вектору g 1.

Далее положим

g 3 = а 3 + g 1 + g 2,

и подберем и так, чтобы вектор g 3 был ортогонален и g 2, и g 3, т.е. (g 1, g 3) = 0 и (g 2, g 3) = 0. Находим

,

.

Тогда из равенств и находим соответственно и .

Таким образом, вектор g 3 = а 3 –` g 1 g 2 ортогонален векторам g 1 и g 2.

Аналогично построим вектор

g 4 = а 4 –` g 1 g 2 g 3.

Нетрудно проверить, что (g 1, g 4) = 0, (g 2, g 4) = 0, (g 3, g 4) = 0.

Действую далее подобным образом, получим

g п = а п g 1 g 2 – … – g п –1,

причем этот вектор, в силу взаимной ортогональности векторов g 1, g 2, …, g п –1, будет ортогонален каждому из этих векторов.

Таким образом, система векторов { g 1, g 2, …, g п }, где

g 1 = а 1,

g k = а k g 1 g 2 – … – g k –1, k = 2, 3, …, n,

образует ортогональную систему векторов, которая, согласно теореме 5.2, линейно независима, и, следовательно, образует ортогональный базис п -мерного евклидова пространства.

2. Положим теперь , , , …, . В силу теорем 5.1 и 5.2, векторы е 1, е 2, …, е n попарно ортогональны и линейно независимы, а значит, образуют ортонормированный базис рассматриваемого пространства.

Таким образом, во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. ▲

Из доказательства этой теоремы следует алгоритм построения ортонормированного базиса (процесс ортогонализации):

1) Взять произвольный базис заданного евклидова пространства.

2) Найти векторы ортогонального базиса по формулам

g 1 = а 1,

g k = а k g 1 g 2 – … – g k –1, k = 2, 3, …, n.

3) Нормировать полученную систему векторов { g 1, g 2, …, g п }, т.е. положить .

4) Записать ортонормированный базис { е 1, е 2, …, е n }.

В дальнейшем ортонормированный базис будем обозначать

Б0:{ е 1, е 2, …, е n }.

Отметим следующие свойства ортонормированного базиса.

1) В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений их соответствующих координат: (а, b) = a1b1 + a2b2 + …+ a п b п.

2) Если в некотором базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то этот базис – ортонормированный.

Таким образом, всякий базис евклидова пространства будет ортонормированным, если скалярное произведение определено как сумма произведений координат векторов в этом базисе.

3) В ортонормированном базисе норма вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

|| a || = .

 

Определение 8.

Множество М называется метрическим пространством, если существует правило, по которому любым двум его элементам х и у поставлено в соответствие некоторое действительное число r(х, у) называемое расстоянием между этими элементами, удовлетворяющее условиям:

1. r(х, у) = r(у, х);

2. r(х, у)³0 для любых х и у, причем r(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х = у;

3. r(х, у) £ r(х, z) + r(у, z) для любых трех элементов х, у, z ÎМ.

Элементы метрического пространства называются точками.

 

Примером метрического пространства является пространство R n, в нем расстояние между точками (векторами этого пространства) может быть определено по формуле r(х, у) = || ху ||.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: