Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.
| Единицы | Десятки | Сотни | |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:
| = 4+10 = 14 |
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом, у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
| = 800+60+3 = 863 |
Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
| 1964 | 
| 7472 |
Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве.
Числа 1000, 2000... записывались теми же буквами, что и 1, 2..., но слева внизу ставили опознавательный знак тысяч:
| - 1000 | 
| - 2000 | 
| - 9000 |
Десятки тысяч, сотни и миллионы тоже отмечались первыми буквами алфавита, но уже без титла, и каждый со своим определенным значком. Числа, которые обозначались буквами в кружочках, точках и черточках, имели специальные названия.
| (Тьма) | 
| (Легион) | 
| (Леодр) | 
| (Ворон) | 
| (Колода) |
Со словом "Тьма" связаны выражения "тьма-тьмущая" "тьма народу", означающая немыслимо много. В "Слове о полку Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом", которую можно истолковать как "побила большой силой", где "большой" можно сравнить с полумиллионом человек.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".
Славянская нумерация основана на следующем правиле: несколько букв под титлом (это черточка вверху буквы), написанных рядом, обозначают число, равное сумме чисел, обозначаемых буквами. Эту нумерацию называют также алфавитной. Первые девять букв обозначали единицы, следующие девять — десятки и остальные девять — сотни.
Алфавитные нумерации были мало пригодны для оперирования с большими числами, встречавшимися уже в древности (например, при астрономических расчетах). В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначения последовательного порядка, а не для количества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.
В России наряду со славянской нумерацией, в 1703 году была введена индийская. Это впервые сделал в своем учебнике Л.Ф. Магницкий. Сейчас мы привыкли к обозначению чисел с помощью десяти знаков (0;1;2;3;4;5;6;7;8;9), что не замечаем их удобства и простоты.
Позиционные нумерации
Вавилонская нумерация
Позиционные нумерации были изобретены в разных уголках земного шара: в Междуречье, Центральной Америке, Китае и Индии.
Самая первая из этих систем была в ходу в древнем Междуречье; ею располагали уже шумеры в 3 тысячелетии до н. э., но в историю она вошла как древневавилонская система счисления. Она отражена на многих клинописных глиняных табличках, оставшихся от древневавилонской цивилизации. В отличие от нашей системы, основывающейся на числе 10, древневавилонская имеет основанием 60, то есть числа 1, 60, 3600 и т. д., а также, между прочим, 1/60, 1/3600 и т. д. записывались одним и тем же символом – вертикальным клином, направленным вниз (V). Вначале вместо знака «нуль» употребляли просто пробел. Помимо единицы, использовался еще один знак – 10 (он же 600, 36 000 и т. д.) – горизонтальный клин, направленный влево (<). В записи чисел использовался аддитивный принцип: например, число 25 = 2 ∙ 10 + 5 обозначалось как <<<<<vvvvvvvv<<<<<="" p="">.
В позиционной системе умножение единиц любого разряда выполняется одинаково, для умножения же различных чисел от 1 до 60 использовались готовые таблицы умножения. Деление осуществлялось не как отдельная операция, а как умножение на обратную величину – существовали таблицы и этих величин.
В поздних вавилонских текстах стал появляться похожий на наклонную стрелку значок 
, эквивалентный нулю и отмечающий пустой разряд посреди числа. Без него было бы затруднительно отличать такие числа, как, например, 4200 = 3600 + 600 и 3610 = 3600 + 10. Этот значок повторялся в зависимости от того, сколько разрядов пропущено. Характерно, однако, что в конце числа этот значок никогда не ставили: таким образом, по одной лишь записи нельзя было отличить какое-либо число от других чисел, отличающихся от него в 60 n раз.
Вавилонская шестидесятеричная система счисления оставила важный след в истории. Именно от вавилонян пошло деление окружности на 360 частей, которые мы сейчас называем градусами, а градусов (как и часов) – на 60 минут, которые, в свою очередь, делятся на 60 секунд. Греческие астрономы поздней античности (например, Клавдий Птолемей) пользовались именно шестидесятеричной системой, заимствованной у вавилонян: во-первых, в этой системе удобно выполнять расчеты, а во-вторых, это было связано и с влиянием весьма развитой вавилонской астрономии на греческую. Правда, эти астрономы для записи целой части числа и единиц каждого шестидесятеричного разряда дробной части пользовались не вавилонскими «клиньями», а более привычной для греков алфавитной нумерацией, – числа в каждом шестидесятеричном разряде, таким образом, получались двузначными. Например, число 359 + 45/60 + 24/3600 греческие астрономы записали бы так.
|
| Греческая шестидесятеричная нумерация |
Т.е. «359,45′24′′» (знак ′ обозначает разрядность: 45 единиц первого разряда, то есть именно 60-х, а 24 единицы второго разряда, то есть 3600-х).
Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 равных частей (градусов).
Нумерация индейцев Майя
В начале нашей эры индейцы племени Майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой позиционной системой с основанием 20 и с двумя главными знаками – для 1 и для 5. Цифры писали в столбик (старшие разряды сверху), единицу обозначала точка, несколько единиц одного разряда писалось в одну строчку, пятерка обозначалась горизонтальной чертой под точками. У майя был знак для пропущенного разряда (аналогичный нашему нулю), напоминающий полузакрытый глаз. Нумерация майя принципиально отличалась от нашей и от вавилонской тем, что единицами разрядов, кроме 1 и 20, служили не степени 20, а числа 18 ∙ 20 n.
|
| Запись чисел у индейцев Майя |
Китайская нумерация
Важный шаг к десятичной позиционной системе был сделан в древнем Китае.
В Китае, например, числа записывают с помощью особых знаков – иероглифов.
|
| Запись чисел в Древнем Китае |
Китайцы пользуются нумерацией, включающей обозначения чисел от 1 до 10, а также 100, 1000 и т. д. Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе (от лат. multiplicatio – умножение): если надо изобразить, например, число 30, то они не рисуют три значка для 10, а ставят рядом значки для 3 и для 10. Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились с помощью счетных палочек, которые раскладывали на счетной доске, видимо, разлинованной на строки и столбцы. При этом разные единичные разряды попадали в разные клетки. Таким образом, одни и те же комбинации палочек могли представить, в зависимости от расположения, единицы разных разрядов; при этом не было никакой необходимости в употреблении иероглифов, обозначающих конкретные разряды в мультипликативной записи. Пропущенный разряд при счете на доске был виден непосредственно, в математической же литературе его обозначали кружком, который, возможно, и был предком нашего нуля. Важно, однако, подчеркнуть, что получившееся позиционное изображение чисел применялось, в отличие от древнего Вавилона, только на счетной доске (и в литературе о ней); в обычных текстах китайцы продолжали пользоваться мультипликативной системой.
Записывались цифры, начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде. Вот несколько служебных иероглифов:
| 
| 
| |
Запишем для примера несколько чисел:
| 1 000 |   
| 548 |
Индийская нумерация
Используемые нами символы для обозначения чисел – «арабские цифры» – в действительности восходит к средневековой Индии. В Индии позиционный принцип вначале утвердился в словесных обозначениях чисел. Именно индийцы изобрели десятичную систему счисления, только их цифры были еще не совсем похожи на современные. Для обозначения чисел чертили (острием на земле или углем на доске) колонки так, что получались десятичные разряды: в первой колонке ставили единицы, во второй — десятки, а в третьей — сотни и т.д.; если не было единиц какого-либо разряда, то эта колонка оставалась пустой.
Богатый по своему словарному запасу язык санскрит располагал большим количеством синонимов для разных чисел. При этом, скажем, единица могла именоваться названиями предметов, которые имеются только в единственном числе, например, Луна, Земля; двойка – словами, обозначающими «близнецы», «крылья», «губы»; четверка – словами «океаны», «стороны света» и т.д. Еще в V в. зафиксировано словоупотребление, при котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а наименование разряда опускается, при чем пустой разряд (нуль) также может обозначаться разными синонимами: «пустое», «небо», «дыра». Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из индийских названий нуля – «шунья» (то есть «пустое»; слово играет важную роль в философии буддизма) – было переведено на арабский словом «сыфр», имеющим то же значение и ставшим, таким образом, арабским названием нуля; именно от этого слова происходят русские слова «цифра» и «шифр» (а также, между прочим, английское и французское названия нуля – zero; русское же «нуль» восходит к лат. nullus – никакой). В это же время была разработана нумерация, в которой, во-первых, используются различные девять знаков для чисел от 1 до 9, а во-вторых, эти знаки могут обозначать количества единиц различных разрядов. Первая известная запись такого рода относится к 595 г. (число 346, обозначающее номер года), а первая запись, содержащая нуль, относится к 876 г. (число 270). В литературе конкурируют две теории о происхождении значка для индийского нуля – он может быть заимствован с востока, например, из Китая, но может быть и с запада (Греция и Вавилон). В Индии не только была придумана современная нумерация, но и были разработаны основанные на ней правила арифметических действий.
Распространению индийской позиционной системы на запад способствовали арабские математики начиная с ал-Хорезми (ранее у арабов применялась алфавитная нумерация, похожая на используемые другими семитскими народами Ближнего Востока – сирийцами и евреями; кроме того, арабы часто записывали числа словами, из этой записи в результате ее сокращения возникла новая система обозначения чисел, до сих пор используемая торговцами в странах Востока). Именно благодаря переводам сочинений арабских математиков на латынь индийская позиционная система с XII в. постепенно завоевывает Европу, а имя ал-Хорезми в его латинизированной форме Algorithmus становится названием всей десятичной позиционной арифметики. Впоследствии слово «алгоритм» приобрело смысл всякого вычислительного процесса, происходящего по некоторым правилам и приводящего к решению задач определенного класса за конечное число шагов (например, алгоритм Евклида). Наглядной демонстрации преимуществ (в том числе экономичности) новой нумерации по сравнению с римской уделяет внимание Фибоначчи в «Книге абака».
Следует отметить, что в процессе странствий от Индии к арабам, а затем на латинский Запад начертание многих цифр сильно изменилось. Поскольку эти цифры не сразу обрели установившуюся форму, они сравнительно поздно стали появляться на монетах (лишь с XV в. в континентальной Европе, с XVI в. в Великобритании). На могильных плитах новые цифры появились раньше, уже в XIV в.
|
| Эволюция арабских цифр |
Индийская нумерация распространилась по всему миру. При этом одни народы переняли у индийцев только принцип обозначения чисел, другие заимствовали и написание цифр. На приведенной таблице видно, как постепенно видоизменялись цифры «губар» (вторая строка в таблице), употреблявшиеся в мавританских государствах. Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.
В страны Европы новая индийская нумерация была занесена арабами в X –XIII вв. (отсюда и название «арабские цифры), однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось применять только римские цифры. Но преимущества позиционного принципа счисления были настолько велики, что еще в XIII в. Он стал применяться итальянскими купцами. В Германии, Франции, Англии до конца XV в. Новая нумерация почти не употреблялась. Но к концу XVI – началу XVII в. Позиционная система одержала решительную победу – ее приняли не только купцы, но и все ученые. Ее стали применять повсеместно.
У нас в России эти цифры стали применять в основном лишь 250 лет тому назад. До этого же времени наши предки пользовались славянской нумерацией. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а позднее славянские цифры вообще быстро исчезают из обихода.
Приведем в заключении слова знаменитого французского математика и физика VIII– XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой»[4.258].