Тема занятия: Запись цифр и чисел у других народов
Цели:
1. Рассмотреть с обучающимися понятие цифры и числа.
2.Познакомить обучающихся с записью цифр и чисел других народов.
Первые нумерации
Единичная нумерация
Современному человеку трудно представить себе математику без обозначений чисел и арифметических действий. Тем не менее, когда-то этих обозначений не существовало. Древние культуры вообще были в большей степени ориентированы на устную речь, на устное обучение, чем современная. Постепенно люди сталкивались с необходимостью сооружать постройки, делить землю на участки, подсчитывать собранный урожай, вести календарь. Человек учился считать, выполнять действия над числами. Запоминать все вычисления становилось трудно и поэтому возникает необходимость в записи чисел. Цифры – условные знаки для обозначения чисел. Человечество выработало целый ряд различных систем записи чисел – различных нумераций.
Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях.
|
| Зарубки на волчьей кости, Моравия, 3 тысячилетие до н. э. |
В 1937 в Моравии (на территории современной Чешской Республики) была найдена относящаяся к 3 тысячелетию до н. э. волчья кость с 55 глубокими зарубками; это старейшая из известных в настоящее время записей числа (если, конечно, это действительно запись числа, а не что-либо другое, например, специфический орнамент). В позднейшее время числа тоже обозначались зарубками: еще в XIX в. в Западной Европе применялись деревянные бирки, на которых зарубками фиксировались долги (одна такая бирка оставалась у должника, а другая – у кредитора); у других народов для тех же целей применялись веревки с соответствующим числом узелков (в некоторых районах Китая и Японии такая практика сохранилась до XX в.).
Одним из древнейших способов фиксации чисел состоял в обозначении каждого предмета некоторой совокупности одним и тем же значком, обозначавшим единицу.
Ее можно изобразить в виде палочки, Ѕ, кружочка, или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так: 1 - /; 2 - //; 3 - ///; 4 - ////; 5 - ///// и т.д.
Таким образом, число изображалось соответствующим количеством единиц. Такая система записи называется единичной нумерацией.
Но в чистом виде единичная нумерация не очень удобна, если речь идет о числах, скажем, больше 10: такие обозначения перестают быть наглядными, зарубки или узелки становится слишком долго пересчитывать. Для простоты их группируют в совокупности по 3, по 5 или как-нибудь еще (как, например, штрихи, соответствующие миллиметровым делениям на линейке, сгруппированы по 5).
Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности. Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.
Различные народы имели каждый свою нумерацию. Египтяне, китайцы, жители Центральной Америки для записи чисел применяли картинки — иероглифы, которые изображали птиц, зверей, людей, части человеческого тела и многое другое.
Египетская нумерация
Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок- иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы.
Сохранились два математических папируса, позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее в Лондоне, а другой – в Музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы.
| Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. | |
| Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше. | |
| Такими путами египтяне связывали коров. | |
|
| Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. | |
| Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. | |
| 1 000 | Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. |
| 10 000 | "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. |
| 100 000 | Это головастик. Обычный лягушачий головастик. |
| 1 000 000 | Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф. |
| 10 000 000 | Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца. |
Все остальные числа составлялись из основных с помощью сложения.. При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т. д. писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева – меньшие, справа – большие) – в обратном порядке, чем у нас сейчас.
Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
Рассмотрим запись нескольких чисел для примера:
| - 1205,
|  -1 023 029
|
Нумерация древних римлян
Следы первобытного приема записи чис 
ел дошли до наших дней в виде первых римских цифр: в письменной нумерации древних римлян первые три числа изображаются черточками или палочками: 1 —I; 2 — II; 3 — III. При чтении этих записей в уме производят сложение или подсчет числа поставленных палочек: один и один — два, один, один и один — это три. А дальше для удобства записи был введен особый знак V, обозначающий число 5, Некоторые историки предполагают, что этим знаком в древние времена заменили изображение руки. Руку рисовать долго, вычерчивать пять палочек тоже долго, а поставить знак в виде галочки значительно быстрее.
Когда для цифры 5 был введен знак V, то довольно легко было изобразить числа 6, 7 и 8, используя тот же прием сложения, что и при изображении чисел 2 и 3; III—это 1 + 1 + 1, а 6—это 5 + 1,то есть VI, 7 — это 5+2, или VII, 8 = 5 + 1 + 1 + 1, или VIII. Но чтобы ускорить запись чисел 4 и 9, потребовалось ввести новый прием — вычитание; 4=5-1, а 9 = 10 - 1. А чтобы показать, что от пяти надо вычесть единицу, ее записывали не справа, а слева от пяти. Четыре в римской нумерации записывают так: IV. Для десяти древние римляне также ввели новый знак — две пятерки, но для удобства записи они изображали их одну под другой в перевернутом виде, как две пересекающиеся черточки. X — это 10.IX–конечно, это 9, так как 10- 1=9.
Запишем римскими цифрами число 37. XXX — это 30, а 7 — это VII, поэтому 37 — XXXVII. А запись числа 39 будет иной: ведь 9—-это 0— 1, или IX, поэтому 39 запишем: XXXIX.
Зная, как в римской нумерации записываются числа от единицы до десяти, легко сообразить, как можно записать этими цифрами и другие числа вплоть до 49. Для чисел 50, 100, 500, 1000 в этой нумерации введены особые знаки (L, С, D, М).
Значки I, V, X исходно были обозначениями пальца, ладони и двух ладоней. Значок С происходит от лат. centum – сто. Следует отметить, что современный вид римской нумерации не во всем совпадает с бытовавшим в Древнем Риме. Ряд значков изменили свои начертания; так, обозначения М (от mille – тысяча) и D (от demimille – полтысячи) пришли на смену более древним. Изменились и правила использования этих символов: например, древний римлянин вполне мог бы написать для 4 знак IIII. Один из самых бросающихся в глаза недостатков римских цифр – ограниченность записываемых ими чисел: для обозначения десятков тысяч приходится десятки раз повторять знак М. В действительности в Древнем Риме существовали значки и для 10 000, и для 100 000. Последний знак впоследствии проэволюционировал в П-образную рамочку, которая увеличивала значение заключаемого в нее символа в 100 000 раз.
В Средние века была придумана черта над символом, увеличивающая его значение в 1000 раз: например, Х – 10, а 
– 10 000. Кроме того, существует способ писать число тысяч также, как единиц, отделяя число тысяч от числа единиц маленькой подстрочной буквой m: например, число 273 847 можно написать ССLXXIIImDCCCXLVII.
В наших книгах, газетах, на плакатах, на циферблатах часов довольно часто можно встретить числа, записанные римскими цифрами. Грамотному человеку необходимо знать римскую нумерацию чисел.
Запись чисел римскими цифрами менее удобна, чем общепринятая. Запись чисел римскими цифрами громоздка и требует значительно большего времени для написания, она осложняет выполнение письменных действий. Попробуйте, например, сложить столбиком XXXIX и XXVII или разделить XXXXVIII на XII и вы убедитесь, что это потребует значительно большего напряжения ума, чем при сложении чисел, записанных известными нам цифрами 39 и 27, и делении 48 на 12. Даже при чтении чисел, записанных римскими цифрами, требуется производить сложение и вычитание, что хотя и несложно, но довольно утомительно, особенно в том случае, когда приходится иметь дело с большим количеством чисел.
Уже в 1 классе при изучении математики мы по-разному записываем одни и те же числа. Так, выполняя действия, сравнивая выражения, числа один, два, три обозначаем знаками: 1, 2, 3. Но, записывая кратко задачу, перечисляя пункты плана, мы эти же числа записываем иначе: I, II, III. Почему одно и то же число мы записываем по-разному?
Это происходит потому, что до сегодняшних дней, наряду с индийской системой записи чисел, люди пользуются римской нумерацией.
Алфавитные нумерации
Древняя греческая нумерация
|
| Запись чисел в Древней Греции |
Близкая к римской нумерация существовала и у древних греков – так называемая аттическая нумерация, позднее вытесненная ионийской нумерацией, построенной по алфавитному принципу (см. ниже). Символ для пяти – Г – исходно обозначал ладонь, как V у римлян; позднее он стал восприниматься как первая буква слова «пента» (пять; в аттических областях буква «Г» обозначала звук «п», а не «г»; ср. лат. букву Р, больше похожую на Г, чем на П). Δ, Н, Х – первые буквы слов «дека» (десять), «гекатон» (сто) и «хилиас» (тысяча); символы для 50 и 500 получились из соединения символа Г с символами Δ и Н, соответственно (50 = 5 ∙ 10, 500 = 5 ∙ 100).
Примерно в третьем веке до нашей эры в Греции получила распространение так называемая "Ионийская" система. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:
Числа 10, 20, -90 изображались следующими девятью буквами:
Числа 100, 200, -900 последними девятью буквами:
Цифры пишутся, начиная с больших и кончая меньшими слева направо.
Чтобы отличать числа от букв, над числами до 999 ставится черточка справа наверху от буквы, а начиная с 1000 слева внизу:
Получается, что черточка слева внизу увеличивает значение цифры в тысячу раз. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.