Изучение распределения Пуассона средствами Excel

Распределение Пуассона зависит от одного параметра a. На рабочем листе Exсel предлагается построить графики распределения для различных значений параметра a = 1, 2, 3, 4, 5. Эти графики позволят заметить характерные особенности распределения и убедиться, что при увеличении параметра a распределение Пуассона приближается к предельному распределению Лапласа (или же к нормальному распределению Гаусса). Считается, что при a ³ 5 распределение уже практически нормальное. Распределение Пуассона является асимптотическим приближением для распределения Бернулли, если n >> 1, p << 1, a = np. Здесь выражение n >> 1 означает " n – очень большое", а выражение p << 1 – " p – очень маленькое ". Считается, что предельным распределением можно пользоваться при n ³ 30, p £ 0,1 и a = np £ 5. Расчетами на компьютере можно проверить и уточнить эти утверждения. В распределении Пуассона m теоретически не ограничено (m ® ¥). Однако правило «3-х сигм» остается в силе: a – 3× s_m < m < a + 3× s_m, где ; значения m, выходящие за пределы указанного интервала, маловероятны (их вероятность меньше 0,01). Полезно убедиться, что характеристики распределения правильно воспроизводятся известными формулами: M(m) = a, D(m) = a. Интересно, насколько близкими к теоретическим значениям окажутся расчеты по исходным формулам M(m) = S m P (m) и D(m) = S m ² P (m) – M²(m), если ограничиться диапазоном m, указанным правилом «3-х сигм».

Ниже приведен фрагмент рабочего листа таблицы Excel. Он оформлен по образцу рабочего листа с расчетами по формуле Бернулли, однако характеристики M и D теперь рассчитаны по диапазону (правило «3-х сигм»), поэтому они несколько меньше теоретических значений M = D = a. Последовательные значения вероятностей удобно вычислять по реккурентной формуле , где Р (0) = e^–a (эти формулы приведены в строке 3 рабочего листа). Значимые по правилу 3-х сигм значения P (m) выделены серым фоном. Подготовив первый блок (столбцы А, В), копируем его несколько раз вправо и в копиях заменяем значение параметра на а = 2, 3, 4, 5. Практически все пересчитывается автоматически (за исключением характеристик M и D, где требуется вручную уточнять диапазоны).

Все подготовлено для построения графиков распределения Пуассона при различных значениях параметра а.

Из построенной диаграммы наглядно видно, что с увеличением параметра а распределение Пуассона действительно приближается к симметричному распределению Лапласа, и что при а = 5 распределение очень похоже на нормальное (см. также следующий раздел).

Поскольку заголовки столбцов из строки 13 переносятся в легенду, заголовок в ячейке В13 был задан формулой: ="a="&ТЕКСТ(В6;"0"); при копировании этот заголовок автоматически корректировался.

Для того, чтобы проверить, насколько распределение Пуассона является хорошим приближением для распределения Бернулли при a = np, скопируем с предыдущего рабочего листа несколько раз блоки с расчетами распределения Бернулли и заменим в новых блоках значения параметров: n = 10, 20, 30, 40, 50; p = a/n. Формулу для p набираем только один раз в ячейке N6, далее ее просто копируем. Фрагмент рабочего листа приведен ниже.

Теперь построим сравнительные графики распределений Пуассона и Бернулли при различных значениях n и a=np. Из этих графиков видно, что для а = 1 уже при n = 20 предельная формула Пуассона хорошо согласуется с исходной формулой Бернулли.

Можно поэкспериментировать, заменяя на рабочем листе значения параметра а, и наблюдая за соответствующими трансформациями графиков.