Построение плотности распределения результатов измерений




Ю.П.Головатый

 

 

Статистический анализ результатов измерений

 

Методические указания к лабораторной работе №4

по «Основам проектирования наноприборов и систем на их основе»

 

Калуга

2013 г.

УДК 621.382

Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом специальности 152200.62

 

 

Указания рассмотрены и одобрены: кафедрой «Материаловедение»

Протокол №_________ от _______________

 

Заведующий кафедрой ____________________ В.Г.Косушкин

 

 

Методической комиссией Калужского филиала

Протокол №__________от ________________

 

Председатель Методической

комиссии _______________ М.Ю. Адкин

 

 

Рецензент: д.т.н., профессор кафедры ФН2-КФ

 

________________

 

 

Автор: ст. преподаватель _______________ Ю.П. Головатый

 

 

Аннотация.

 

В данной лабораторной работе рассмотрены методы численного решения нелинейных уравнений. Основное внимание уделено наиболее распространенному методу Ньютона-Рафсона.

 

© Калужский филиал МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013 г.

© Головатый Ю.П.

 

 

Оглавление

1. Цель работы.

2. Основные понятия статистики

3. Построение плотности распределения результатов измерений

4. Оценка точности технологических процессов

5. Порядок выполнения работы

 

 

Цель работы.

 

Цель работы: освоить методы статистического анализа результатов измерений в научных исследованиях и в целях контроля технологии производства наноприборов

Основные понятия статистики.

Статистический анализ - это сравнение, сопоставление, изучение рядов однородных эмпирических цифровых данных с целью установления взаимосвязей и закономерностей, характеризующих явления и процессы.

Ряды эмпирические цифровых данных появляются в результате многократных однотипных измерений. Такие измерения типичны в научной и инженерной деятельности.

В научных исследованиях измерения никогда не бывают абсолютно точными. Это значит, что мы верим в то, что измеряемая величина имеет истинное числовое значение , но узнать его не можем из-за неизбежных ошибок измерений. Измеренное значение отличается от истинного значения на величину ошибки .

Ошибки измерений имеют двоякое происхождение. Во-первых, их вносит любой измерительный прибор. Приборная ошибка называется погрешностью. Во-вторых, ошибки вносят неконтролируемые случайные внешние факторы – колебания электрического напряжения в сети, вибрации, освещение, температура, флюктуации физических величин.

Если погрешность прибора больше случайных ошибок, то любые два измерения дадут различные результаты. Тогда возникает задача об определении значения измеряемой величины, наиболее близкого к истинному значению, по выборке из результатов измерений.

Если же погрешность прибора меньше случайных ошибок, то любые два измерения дадут одинаковые результаты. Измерения с помощью достаточно грубых приборов применяются при контроле качества продукции. Цель контроля качества - избежать отклонений параметров изделия от заданных значений на величину, превышающую допуск. Отклонения в этом случае могут происходить из-за нарушения технологических режимов. Статистический анализ позволяет своевременно выявить такие отклонения и принять меры к их устранению.

Распределение результатов измерений принято описывать функцией плотности распределения вероятности . Смысл ее в том, что дает долю от полного числа N результатов измерений, попадающих в интервал от x до . почти всегда имеет вид кривой с максимумом (рис.1)

Рис.1 Возможный вид плотности вероятности результатов измерений

 

По определению, (1)

Среднее значение величины x для данного распределения определяется соотношением

(2)

Оно есть обобщение обычного определения среднего арифметического значения. Если измерений дают значение , то

Среднее значение величины принимается за ее истинное значение,

(3)

Дисперсия распределения определяется соотношением

(4)

а (5)

называется среднеквадратичным (стандартным) отклонением.

Среднее значение и стандартное отклонение – важнейшие параметры распределения. Они могут быть вычислены, если известна функция плотности распределения вероятности .

Вид функции плотности распределения вероятности определяется характером процессов, приводящих к разбросу результатов измерений.

Чаше других в физике и технике используется гауссово или нормальное распределение

(6)

Оно задается двумя независимыми параметрами и , совпадающими с истинным (наиболее вероятным) значением величины x и её среднеквадратичным отклонением. В (6) и неизвестны, поэтому их оценивают приближенно через среднее арифметическое значение

(7)

и выборочное (стандартное) отклонение

(8)

Наряду с плотностью распределения вероятности в статистике важное значение имеет функция распределения , определяемая соотношением

(9)

Она выражается через интеграл вероятности ,

(10)

Графики функций и показаны на рис.2 для ,

 

Рис.2 Гауссово (нормальное) распределение

для случая x0 = 2, σ = 0,5.

 

Функция распределения дает вероятность попадания отдельного измерения в интервал . Вероятность попадания результата измерения в интервал [ x1,x2 ] равна

(11)

Величину P, выраженную в процентах, называют статистической достоверностью. Она имеет следующие значения для характерных интервалов:

,

,

,

Таким образом, за пределами интервала около среднего значения остается только приблизительно одна четырехсотая часть всех измерений.

Широкое применение гауссова распределения обусловлено тем, что, с одной стороны, оно очень удобно, а, с другой – считается, что оно описывает плотность вероятности для многих физических величин при их измерениях. Широко известный пример – рассеяние пуль при стрельбе или радиальное распределение частиц в электронных, протонных и фотонных пучках. Его можно обосновать теоретически при некоторых предположениях о вероятностях исходов измерений, но лучше всего о применимости этого распределения сказано словами: экспериментаторы верят в него, полагаясь на доказательства математиков, а математики – полагаясь на экспериментальное обоснование.

 

Построение плотности распределения результатов измерений

 

Приближённое представление о плотности распределения даёт гистограмма – столбчатый график, показывающий частоту появления результата измерения в определенном интервале значений.

Для построения гистограммы надо разбить интервал , охватывающий все результаты измерений, на некоторое число одинаковых подинтервалов , и подсчитать число результатов измерений, попадающих в -й подинтервал , . есть частота попадания результата измерения в подинтервал . Относительные частоты откладываются в виде столбиков высотой в центре каждого подинтервала. Это и есть гистограмма.

Огибающая гистограммы даёт представление о плотности распределения вероятности результатов измерений.

В большинстве случаев предполагается, что огибающая суть гауссова кривая (6). Если гистограмма сильно отличается от гауссианы, это свидетельствует о влиянии на измерения некоторых неслучайых факторов.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: