Замена переменных в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Лекция 16 Основные методы интегрирования (2ч)

Содержание лекции: Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; замена переменной (метод подстановки); интегрирование по частям.

Проинтегрировать функцию – значит, найти хотя бы одну ее первообразную. Рассмотрим основные методы интегрирования, которые позволяют преобразовывать данный интеграл и цель этих преобразований – привести данную задачу интегрирования, сразу или через несколько шагов, к одной или нескольким табличным формулам. Существует несколько методов интегрирования:

I. непосредственное интегрирование;

II. замена переменных;

III.интегрирование по частям.

Рассмотрим каждый из них.

Метод непосредственного интегрирования

Под непосредственным интегрированием будем понимать приведение заданного интеграла к одному или нескольким табличным с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения и свойств неопределенного интеграла. Рассмотренные в предыдущей лекции примеры демонстрировали применение тождественных преобразований и свойства линейности для приведения заданного интеграла к нескольким табличным.

Рассмотрим особо применение свойства 6 к вычислению неопределенного интеграла:

если , то для любой дифференцируемой функции и = и (х).

Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу его все формулы таблицы справедливы не только для независимой переменной х, но и в случае, когда х – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Например, , но и , и .

Или и , .

В рассмотренных интегралах , , подынтегральная функция есть сложная функция некоторой переменной , и под знаком дифференциала стоит эта же функция . При этом каждый из интегралов, на основании свойства 6, является табличным. В некоторых случаях в заданном подынтегральном выражении удается сформировать дифференциал некоторой функции так, чтобы этот дифференциал в совокупности с остальным выражением составляли табличную формула относительно функции . Такой прием называется подведением под знак дифференциала. При этом используется тот факт, что

Рассмотрим примеры.

Пример2.

а) ;

б)

.

в)

(в последнем примере записано ln(3 + x ²) вместо ln|3 + x ²|, так как выражение 3 + x ² всегда положительно).

Выведем несколько дополнительных формул, которые наряду с табличными желательно запомнить.

,

,

замена переменных в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Только что рассмотренный прием подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменных и используется, в основном, тогда, когда в подынтегральном выражении легко выделить дифференциал некоторой функции и «узнать» в получившемся после выделения дифференциала выражении табличный интеграл относительно этой функции. Если же в уме подобные преобразования произвести трудно, используют замену переменных. Суть метода в следующем.

Пусть требуется вычислить интеграл , но непосредственно подобрать первообразную для f (x) не удается, хотя известно, что она существует. Заменим переменную интегрирования, положив х = j(t), где j(t) непрерывная функция, имеющая обратную t = j^–1(x), тогда dх = j¢(t) dt и имеет место равенство

= ,

где g (t) = f (j(t))j¢(t).

Если для функции g (t) первообразную найти нетрудно и она равна G (t), то согласно свойству 6, имеем

= .

Рассмотрим примеры.

Пример3.

.

При интегрировании методом замены переменных иногда удобнее подбирать подстановку в виде t = j(x), но при этом необходимо, чтобы в заданном подынтегральном выражении f (x) dx можно было легко получить множитель вида j¢(x) dx, дающий дифференциал новой переменной t.

Пример4.

а) .

Заметим, что этот интеграл можно вычислить и подведением под знак дифференциала, если учесть, что .

б)

.

Выбор правильной подстановки зависит от навыка и интуиции вычислителя. Если выбор окажется не совсем удачным, замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат. В некоторых часто встречающихся ситуациях можно дать определенные рекомендации (здесь и в дальнейшем буквой R будем обозначать рациональную функцию соответствующих аргументов):

– используется подстановка t = e^x

– используется подстановка t = log _ax.

В дальнейшем мы рассмотрим еще некоторые классы интегралов, в которых используются вполне конкретные подстановки.