Тема 13. Векторы и их геометрические приложения

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат OXYZ, то каждой точке пространства поставлена в соответствие тройка чисел (x; y; z) – координаты точки. Рассмотрим две точки пространства и .

Определение 1. Направленный отрезок называют вектором.

Если вектор имеет координаты (x; y; z), то справедливо равенство

, (1)

где , и - единичные векторы координатных осей OX, OY и OZ.

Пусть , , тогда координаты вектора равныразностям соответствующих координат его конца и начала:

. (2)

Пример 1. Найдите координаты вектора , если , .

Решение. По формуле (2) получаем:

, , , .

Ответ: .

Длина вектора определяется по формуле:

. (3)

По формуле (3) находится также длина отрезка AB.

Координаты точки , делящей отрезок AB в отношении определяются по формулам: . (4)

В частности, при делении отрезка пополам, т.е. когда , получаем:

. (5)

Пример 2. Постройте точки и . Найдите точку , делящую отрезок AB в отношении .

Решение. Используем формулы (4) при условии, что :

, .

Получаем координаты точки .

Ответ: .

Пример 3. В треугольнике с вершинами A (1,-1,2), B (3,0,2) и C (-1,2,0) длина медианы AD равна

1) 2) 5 3) 3 4)

Решение. По формулам (5) находим координаты середины отрезка BC:

Таким образом, координаты точки D (1,1,1), тогда длину медианы AD определяем, используя формулу (3):

Ответ: 1).

Пусть заданы векторы , тогда

, (6)

. (7)

Таким образом, , . Следовательно, при сложении (вычитании) двух векторов их соответственные координаты складываются (вычитаются). При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Пример 4. Даны точки A (-1;2;1), B (3;-1;2), C (1;2;-1). Найдите сумму координат точки M (x; y; z), если .

1) -1

2) 2

3) 0

4) -6

Решение. По формуле (2) получаем , , . Тогда по формуле (7) , . Вычитаем и складываем координаты векторов, используя формулу (6):

Так как , значения x, y, z определяем, решая систему:

Сумма координат точки M (-5;2;-5) равна x + y + z = 5 + 2 - 5 = 2.

Ответ: 2).

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (обозначается или ): . (8)

Если векторы и заданы своими координатами, т.е. и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

, (9)

откуда следует

, (10)

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Так как по определению скалярного произведения , то косинус угла между векторами и находится по формуле:

. (11)

Пример 5. Даны четыре точки A (-1;3), B (-2;2), C (-4;1), D (3;4). Найдите скалярное произведение .

Решение. Находим координаты векторов, используя формулы (2) и (6):

, , , , .

Тогда по формуле (9) получаем: .

Ответ: -4.

Пример 6. Определите угол между векторами и .

Решение. По формуле (1) запишем координаты векторов , . Затем по формуле (11) находим косинус угла между данными векторами , тогда .

Ответ: .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и имеет вид или в координатной форме:

. (12)

Пример 7. Найдите произведение при условии, что векторы и коллинеарны.

Решение. По формуле (13) получаем: .

Ответ: -4.

Пусть вектор перпендикулярен вектору , тогда , и наоборот. Следовательно, необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид: . (13)