Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат OXYZ, то каждой точке пространства поставлена в соответствие тройка чисел (x; y; z) – координаты точки. Рассмотрим две точки пространства 
и 
.
Определение 1. Направленный отрезок 
называют вектором.
Если вектор имеет координаты (x; y; z), то справедливо равенство
, (1)
где 
, 
и 
- единичные векторы координатных осей OX, OY и OZ.
Пусть , , тогда координаты вектора равныразностям соответствующих координат его конца и начала:
. (2)
Пример 1. Найдите координаты вектора , если 
, 
.
Решение. По формуле (2) получаем:
, 
, 
, 
.
Ответ: 
.
Длина вектора определяется по формуле:
. (3)
По формуле (3) находится также длина отрезка AB.
Координаты точки 
, делящей отрезок AB в отношении 
определяются по формулам: 
. (4)
В частности, при делении отрезка пополам, т.е. когда 
, получаем:
. (5)
Пример 2. Постройте точки 
и 
. Найдите точку 
, делящую отрезок AB в отношении 
.
Решение. Используем формулы (4) при условии, что 
:
, 
.
Получаем координаты точки 
.
Ответ: .
Пример 3. В треугольнике с вершинами A (1,-1,2), B (3,0,2) и C (-1,2,0) длина медианы AD равна
1) 
2) 5 3) 3 4) 
Решение. По формулам (5) находим координаты середины отрезка BC:
.
Таким образом, координаты точки D (1,1,1), тогда длину медианы AD определяем, используя формулу (3):
.
Ответ: 1).
Пусть заданы векторы 
, 
тогда
, (6)
. (7)
Таким образом, 
, 
. Следовательно, при сложении (вычитании) двух векторов их соответственные координаты складываются (вычитаются). При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Пример 4. Даны точки A (-1;2;1), B (3;-1;2), C (1;2;-1). Найдите сумму координат точки M (x; y; z), если 
.
1) -1
2) 2
3) 0
4) -6
Решение. По формуле (2) получаем 
, 
, 
. Тогда по формуле (7) 
, 
. Вычитаем и складываем координаты векторов, используя формулу (6):
|
|
.
Так как 
, значения x, y, z определяем, решая систему:
Сумма координат точки M (-5;2;-5) равна x + y + z = 5 + 2 - 5 = 2.
Ответ: 2).
Определение 2. Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (обозначается 
или 
): 
. (8)
Если векторы и заданы своими координатами, т.е. 
и 
, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
, (9)
откуда следует
, (10)
т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Так как по определению скалярного произведения 
, то косинус угла между векторами и находится по формуле:
. (11)
Пример 5. Даны четыре точки A (-1;3), B (-2;2), C (-4;1), D (3;4). Найдите скалярное произведение 
.
Решение. Находим координаты векторов, используя формулы (2) и (6):
, 
, 
, 
, 
.
Тогда по формуле (9) получаем: 
.
Ответ: -4.
Пример 6. Определите угол между векторами 
и 
.
Решение. По формуле (1) запишем координаты векторов 
, 
. Затем по формуле (11) находим косинус угла между данными векторами 
, тогда 
.
Ответ: 
.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов 
и 
имеет вид 
или в координатной форме:
. (12)
Пример 7. Найдите произведение 
при условии, что векторы 
и 
коллинеарны.
Решение. По формуле (13) получаем: 
.
Ответ: -4.
Пусть вектор перпендикулярен вектору , тогда 
, и наоборот. Следовательно, необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид: 
. (13)
Пример 8. Найдите значение 
, если векторы 
и 
взаимно перпендикулярны.
Решение. По формуле (14) получаем 
.
Ответ: -6.
|
|
Задачи.
1. Даны векторы 
, 
и 
. Найдите координаты вектора: а) 
; б) 
.
2. Даны точки A (2;-1;-3), B (-4;1;3), C (1;6;4). Найдите сумму координат точки 
, если 
.
1) 10
2) 37
3) 26
4) -14
3. Даны точки A (4;-1;2), B (-2;1;3), C (3;4;-1). Найдите сумму координат точки , если 
.
1) 14
2) 3
3) 4
4) 17
4. Даны векторы 
и 
. Тогда длина вектора 
равна
1) 
2) 8
3) 
4) 
5. Даны векторы 
и 
. Тогда длина вектора 
равна
1) 
2) 
3) 
4) 
6. Даны векторы 
, 
, 
и 
. Вычислите скалярное произведение: а) ; б) 
; в) 
.
7. Даны векторы 
, 
, 
и 
. Вычислите скалярное произведение: а) 
; б) 
8. Даны четыре точки A (3;-1), B (2;2), C (1;-3), D (-1;-2). Найдите скалярное произведение 
.
9. Косинус угла между векторами 
и 
равен
1) 
2) 
3) 
4) 
10. Косинус угла между векторами 
и 
равен
1) 
2) 
3) 
4) 
11. Найдите угол между векторами 
и 
, если 
, 
12. Найдите 
, если 
, 
, 
13. Найдите 
если 
, 
, 
.
14. Даны векторы 
и 
. Найдите сумму 
, если точки A, B и C лежат на одной прямой.
15. Коллинеарны ли векторы: а) 
и 
; б) 
и 
.
16. Коллинеарны ли векторы 
и 
.