Теория вероятности
1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.
2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы «К»; 2) с буквы «Ь».
3. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. Из списка журнала VIII класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.
4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
5. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипела при t = 80°С; 2) когда температура упала до –5° С, вода в луже замерзла.
6. Для каждого из описанных событий определите, какимоно является: невозможным, достоверным или случайным.
7. Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
8. Для каждого из описанных событий определите каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
9. Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков ровна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.
10. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:
а) день рождение моего друга – число, меньше чем 32;
б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;
в) на уроке математики ученики решали математические задачи;
г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2007 году;
д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2007 году;
е) из интервала (1;2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;
ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;
з) вверх подкинули монету и она упала на землю «орлом»;
и) вверх подкинули монету и она упала на землю, встав на ребро.
11. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
12. Вероятность некоторого изделия быть бракованным равна 0.005. Чему равна вероятность того, что среди 10000 наугад взятых изделий 40 бракованных?
13. Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 обнаружить: а) не менее 3 семян сорняков; б) не более 16 семян сорняков; в) ровно 6 семян сорняков?
14. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0.8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
15. Вероятность появления некоторого события при одном опыте равна 0.3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0.2 до 0.4.
16. При бросании монеты 4040 раз (опыт Бюффона), герб выпал 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона частота появления герба отклонится по абсолютной величине от вероятности появления герба при одном испытании не более чем в опыте Бюффона.
17. Среди семян пшеницы 0.9% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе тысячи семян обнаружить а) ровно 6 сорняков; б) не менее 6 и не более 15 сорняков?
18. Какова вероятность того, что при ста подбрасываниях монеты «орел» выпадет: а) 45 раз; б) не менее 45 и более 60 раз?
19. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 и 0.9. а) Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. б) Произведенный выстрел оказался успешным. Найти вероятность того, что выстрел был сделан из четвертого ружья.
20. В трех урнах находится по 8 черных и 2 белых шара в каждой, а в двух других – по 6 черных и 4 белых в каждой. Наугад выбирается одна из этих пяти урн, а из нее берутся два шара. Какова вероятность, что оба шара белого цвета.
21. Три оператора радиолокационной установки проводят соответственно 25%, 35% и 40% всех измерений, допуская при этом 5%, 4% и 2% ошибок соответственно. Случайно выбранное измерение оказалось ошибочным. Найти вероятность того, что оно было выполнено третьим оператором.
22. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
23. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из наудачу взятой партии извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращается в эту же партию и вторично из нее извлекается деталь, которая снова оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третьей партии.
24. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0.3, 0.5 и 0.2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы – 0,5, для второй – 0.8, для третьей – 0.4. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что это была вторая касса?
25. В сосуд, содержащий 
шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном количестве белых шаров в сосуде равновозможны?
26. В книге 300 страниц. Какова вероятность того, что номер наудачу открытой страницы будет кратен 7?
27. В урне содержится 3 белых, 2 черных и 5 красных шаров. Из урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что а) выбранный шар окажется красным? б) не будет черным?
28. В коробке содержится N изделий, среди которых M бракованных. Из урны извлекается k изделий. Какова вероятность, что среди них будет l бракованных?
29. Стадо из 20 голов (10 овец и 10 коз) делится пополам случайным образом. Какова вероятность того, что в каждой половине будет одинаковое число овец?
30. Из колоды в 52 карты извлекаются одна за другой две карты. Чему равна вероятность того, что первая карта туз, а вторая – валет? Что одна из этих карт туз, а другая – валет?
31. Из урны, содержащей 19 белых и 1 черный шар, вытаскивается 5 шаров. Какова вероятность того, что в урне остались только белые шары?
32. Из 10 урн, содержащих по 19 белых и 1 черному шару каждая, извлекается по одному шару. Какова вероятность, что хотя бы один шар черный?
33. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [-1,1]больше нуля, а произведение отрицательно.
34. Мячик диаметром 10 см. бросают в садовую решетку, сделанную из вертикальных прутьев толщиной в 4 см. Найти вероятность того, что мячик пролетит сквозь решетку, если расстояние между осями прутьев 40 см.
35. Петя, Маша и ещё n садятся в ряд. Какова вероятность того, что между Петей и Машей будет сидеть ровно r человек?
36. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Каждый из них враждует со своими соседями по столу. Какова вероятность выбрать 5 рыцарей для освобождения заколдованной принцессы так, чтобы среди выбранных не было врагов?
37. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
38. Среди трех игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестерка появляется с вероятностью 1/3. Бросили две кости и выпали две шестерки. Какова вероятность, что среди брошенных костей была фальшивая?
39. Радиолокационная станция ведет наблюдение за шестью объектами в течение некоторого времени. Контакт с каждым из них может быт потерян с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что хотя бы с тремя объектами контакт будет поддерживаться в течение всего времени.
40. Вероятность поломки (выхода из строя) в течение дня у каждого из трех работающих самосвалов равна соответственно 0,25; 0,30; 0,15. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня:
а) все самосвалы выйдут из строя;
б) ни один не выйдет из строя;
в) хотя бы один выйдет из строя;
г) точно один выйдет из строя.