Наибольшее и наименьшее значения функции.
Конспект урока
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,
2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,
3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
Глоссарий по теме
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Найти производную f‘ (x).
3. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
4. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
1. Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
2. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 2 на отрезке [0; 3]
Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.
1) D(f) = (-∞; +∞).
2) f 
(x) = 6x2 – 18x + 12
3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.
4) f(0) = -2
f(3) = 7
f(1) = 3
f(2) = 2
5) fнаим.=f(0) = -2
fнаиб.=f(3) = 7.
Ответ: fнаим= -2
fнаиб.= 7.
№2. Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.
Решение.
Пусть первое число равно х, 
Тогда второе число - 
Следовательно, 
Произведение этих чисел равно х(16 – х).
Составим функцию:
f(x) = x(16 – x)
x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.
Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.
Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.
Ответ: 8 и 8
Выполните самостоятельно:
1. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
2. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
3. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке
Домашнее задание:
1. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
2. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке
3. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
4. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке
5. Найти наибольшее значение функции 
на отрезке 