Турбулентые пограничные слои , структура пограничного слоя и потеря устойчивости ламинарного течения.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ - область течения вязкой жидкости (газа) с малой по сравнению с продольными размерами поперечной толщиной, появляющаяся у поверхности обтекаемого твёрдого тела или у границы раздела двух потоков жидкости с разл. скоростями, темп-рамп или хим. составом. Возникновение П. с. связано с явлением переноса в жидкости кол-ва движения, теплоты и массы, характеризуемых коэф. вязкости, теплопроводности и диффузии. Образование и развитие П. с. можно проследить на примере динамического (скоростного) П. с. у поверхности
тела, обтекаемого потоком жидкостп или газа (рис. 1). Вследствие вязкости жидкости она "прилипает" к поверхности тела, т. е. на стенке продольная составляющая скорости жидкости раина нулю (если поверхность тела непроницаемая, то здесь равна пулю и поперечная составляющая скорости). Разрыв продольной составляющей скорости в вязкой жидкости существовать не может, поэтому возникает переходная область течения, т. е. П. с., в к-ром происходит плавное изменение скорости от нуля на стенке до нек-рого конечного значения во внеш. потоке, где влияние вязкости исчезает.

Рис. 1. Профили скорости и температуры в пограничном слое на поверхности острого конуса в сверхзвуковом потоке газа.

Толщина такой переходной области и профиль скорости в ней определяются ур-ниями сохранения кол-ва движения. Помимо дпнамич. П. с. при обтекании тела можно выделить также тепловой (температурный) П. с., образующийся в случае несовпадения темп-ры поверхности тела и темп-ры жидкости, а также концентрационный (диффузионный) П. с., образующийся при протекании на стенке хим. реакции или же при вдуве инородного газа через проницаемую поверхность тела. В тепловом П. с. темп-pa жидкости непосредственно у стенки равна темп-ре поверхности тела. Если тело обтекается жидкостью с малой скоростью, то внутри теплового П. с. происходит монотонное изменение темп-ры жидкости от темп-ры поверхности до темп-ры внеш. потока. Если же тело обтекается сверхзвуковым потоком газа, то внутри теплового П. с. вследствие торможения газа и перехода кинетич. энергии во внутр. энергию молекул может возникать максимум темп-ры.
Другой часто встречающийся на практике случай П. с. - это слой смешения, образующийся у границы струп, истекающей из сопла, напр. летат. аппарата с воздушно-реактивным или ракетным двигателем (рис. 2). В слое смешения скорость газа изменяется от скорости полёта до скорости истечения продуктов

Рис. 2. Слой смешения при истечении струи из сопла ракеты при полёте в атмосфере.

сгорания из сопла (в системе координат, связанной с летат. аппаратом), а темп-pa - от темп-ры атмосферы до темп-ры продуктов сгорания. Так же плавно изменяются концентрации компонент внеш. среды и продуктов сгорания.
Толщина дпнамич. П. с. определяется критерием Рейнольдса (см. Рейнольдса число Re), к-рый характеризует соотношение между инерц. силами и силами внутр. трения. Чем больше Re, тем меньше толщина П. с. по сравнению с характерным размером тела. Обычно число Re намного превышает единицу, так что толщина П. с. мала по сравнению с размерами тела. Кроме того, при этом оказывается несущественным изменение давления поперёк ГГ. с. В результате параметры жидкости или газа на впеш. границе П. с. могут быть определены так, как будто тело обтекается потоком идеальной (невязкой) жидкости. В более строгой постановке следует рассматривать обтекание идеальной жидкостью нек-рого эфф. тела, увеличенного на т. н. толщину вытеснения П. с. Это позволяет упростить методы расчёта трения и теплообмена между телом и обтекающей его жидкостью (газом). Для этого поток подразделяют на две части - область течения идеальной жидкости и тонкий П. с. у поверхности тела. Решая задачу об обтекании тела невязкнм потоком, находят распределение давления вдоль поверхности тела, а тем самым и давление в П. с. Течение внутри П. с. рассчитывается после этого с учётом вязкости, теплопроводности и диффузии, что позволяет определить силы поверхностного трения и коэф. тепло- и массообмена.
Соотношение между толщинами динамич. и теплового П. с. определяется Прапдтля числом Рr, а соотношение между толщинами динамич. и концентрац. П. с. - Шмидта числом Sc. Для воды, воздуха и мн. др. непроводящих жидкостей и газов числа Рr и Sc близки к 1, вследствие чего толщины динамич., теплового и концентрац. П. с. близки между собой.
Наличие вынужденного течения жидкости или газа не является обязательным для образования П. с. у поверхности тела. Примером является П. с., образующийся у поверхности погружённого в жидкость тела или у стенок сосуда с жидкостью в случае свободной конвекции, возникающей при наличии разности темп-р жидкости и твёрдой стенки (рис. 3). В этом случае толщина П. с. определяется Грасгофа числом Gr.

Рис. 3. Пограничный слой на стенках сосуда с жидкостью при подводе тепла сбоку.

Характер течения жидкости внутри П. с. показывает, что при достаточно больших размерах тела (а точнее, при достаточно больших числах Re или Gr, рассчитываемых по длине тела) существуют два режима течения - ламинарное и турбулентное.

Ламинарный П. с. В нач. части П. с. течение является ламинарным, упорядоченным. Отд. частицы жидкости движутся по плавным траекториям, не пересекаясь и не перемешиваясь друг с другом. Форма этих траекторий близка к форме обтекаемого тела.
Днфференц. ур-ния течения вязкого теплопроводного однородного газа в ламинарном П. с. у поверхности тела произвольной формы могут быть получены нз Навье - Стакса уравнений, отбрасыванием членов, к-рые несущественны при достаточно больших числах Рейнольдса, когда толщина П. с. мала по сравнению с размерами тела. Основы такого подхода были заложены Л. Прандтлем (L. Prandtl) в 1904. В случае стационарного двумерного течения эти упрощённые ур-ния На-вье - Стокса, известные как yp-ния П. с., или ур-ния Прандтля, представляют собой нелинейные днфференц. yp-ния параболич. типа и имеют вид: ур-нпе сохранения количества движения

ур-ние сохранения энергии

ур-ние неразрывности

Здесь х и y - координаты, направленные вдоль поверхности тела и по нормали к ней, и и v - составляющие скорости вдоль этих координат, - плотность, р - давление, - козф. дпнамич. вязкости, Т - темп-pa, c _р - уд. теплоёмкость при пост. давлении, - коэф. теплопроводности.
Граничные условия к системе ур-ний (1) - (3) имеют вид: при y = 0 величины и = 0, v = v_w, Т = T_w; при y и Т T₁.
В случае смеси газов, в к-рой могут протекать хим. реакции, к ур-ниям (1) - (3) добавляются ур-ния неразрывности для отд. компонент

а ур-ние сохранения энергии удобнее записывать через энтальпию Н газа

где с_i - массовая концентрация i-й компоненты, Vi - скорость диффузии, w_i - массовая скорость образования i -й компоненты в единице объёма в результате хим. реакций, Н_i - энтальпия i -й компоненты и - теплота образования i -й компоненты при стандартных условиях. Скорость диффузии определяется градиентами концентраций отд. компонент (концентрац. диффузия), а также градиентом темп-ры (термодиффузия).
Для решения ур-ний П. с. используются разл. методы, среди к-рых можно выделить две осн. группы - численные (конечно-разностные) и интегральные. Первая группа методов основана на численном интегрировании исходных ур-ний П. с. методом сеток, или конечных разностей. Совр. ЭВМ позволяют это делать практически без внесения существенных упрощающих предположений, с учётом всех особенностей геометрии, физ--хим. процессов и т. п. Широкое распространение в численных расчётах получил анализ ур-ний П. с. для разл. частных случаев, когда, вводя спец. переменные и опуская нек-рые несущественные члены, с одной стороны, получают упрощение исходной системы ур-ний, а с другой - сами результаты получаются в более обобщённом виде. К ним относятся разл. автомодельные решения, для к-рых имеет место понижение размерности задачи (напр., случаи П. с. на плоской пластине и конусе, в окрестности критич. точки затупленного тела, на клиновидных телах в дозвуковом потоке). См. Автомодельное течение.
Вторая группа методов основана на использовании ур-нпй П. с. в интегральной форме. В этих ур-ниях в качестве зависимых переменных выступают нек-рые интегральные характеристики П. с.: толщина вытеснения

толщина потери импульса

толщина потери энергии

(индексы "1" относятся к внеш. потоку, "01" - к границе П. с., "О" - к П. с., а "w" - к обтекаемой поверхности). Интегральные ур-ния П. с. получаются из дифференц. ур-ний типа (1) - (5) интегрированием последних по поперечной координате от 0 до внеш. границы П. с.

где - напряжение трения на поверхности тела, а - тепловой поток через его поверхность. Интегральные ур-ния позволяют учесть изменяющиеся условия течения вверх по потоку от рассматриваемой точки тела. Для решения интегральных ур-ний П. с. (9) - (10) необходимо иметь сведения о профилях скорости и энтальпии (или темп-ры) внутри П. с. В основе разл. приближённых методов решения ур-ний П. с. лежит использование нек-рых наборов профилей скоростей и темп-р внутри П. с., напр. степенные профили. Знание профилей скорости и темп-ры позволяет связать между собой разл. характерные толщины П. с., входящие в ур-ния (9) - (10).

Турбулентный П. с. По мере увеличения расстояния вдоль поверхности тела местное число Рейнольдса возрастает и начинает проявляться неустойчивость ламинарного течения по отношению к малым возмущениям. Такими возмущениями могут служить пульсации скорости во внеш. набегающем потоке, шероховатость поверхности и др. факторы. В результате ламинарная форма течения переходит в турбулентную, при этом на главное "осреднённое" движение жидкости или газа в продольном направлении накладываются хаотич., пульсац. движения отд. жидких конгломератов в поперечном направлении. В результате происходит интенсивное перемешивание жидкости, вследствие чего интенсивность переноса в поперечном направлении кол-ва движения, теплоты и массы резко увеличиваются. Потеря устойчивости и переход к турбулентному режиму течения внутри П. с. происходят при нек-ром характерном числе Рейнольдса, к-рое наз. критическим. Величина Re _кр зависит от мн. факторов - степени турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхности Маха числа М внеш. потока, относит. темп-ры поверхности, вдува или отсоса вещества через поверхность тела и др. Поскольку переход ламинарного режима течения в турбулентный связан с потерей устойчивости, то сам этот процесс не является достаточно стабильным, вследствие чего имеет место "перемежаемость" режима течения в пределах нек-рой области, к-рую называют областью перехода.
Изменение режима течения в П. с. сопровождается утолщением слоя и деформацией профилей скорости, темп-ры и концентраций. Одновременно возрастают коэф. поверхностного трения, тепло- и массообмена, а также изменяется характер их распределения вдоль поверхности тела (рис. 4).

Рис. 4. Изменение режима течения в пограничном слое и поверхностного трения на плоской пластине.

Течение внутри турбулентного П. с. носит пульсационный, хаотич. характер: давление, плотность, скорость, темп-pa, концентрации и др. характеристики поля течения быстро изменяются, пульсируют, и притом хаотически. В этом случае при матем. описании течения каждый параметр можно представить в виде суммы осредпённого по времени, или среднего, значения и пульсационного. Напр., Т = Интеграл по времени от пульсац. составляющей любого параметра за достаточно большой интервал времени (строго говоря, при ) равен нулю

Однако осреднённые значения произведений пульсац. составляющих разл. параметров могут и не обращаться в нуль, что свидетельствует о корреляции между пульсациями. Именно корреляция между пульсациями разл. параметров объясняет нек-рый дополнит. механизм передачи кол-ва движения, энергии и диффузии в поперечном направлении.
Дифференц. ур-ния турбулентного П. с. имеют тот же вид, что и ур-ния ламинарного П. с. (1) - (5), с той лишь поправкой, что входящие в эти ур-ния коэф. вязкости, теплопроводности и диффузии представляются в виде суммы молекулярной и турбулентной составляющих. Вследствие наличия в этих ур-нпях турбулентных коэф. переноса вся система ур-ний турбулентного П. с. оказывается незамкнутой. Поэтому для получения приближённых решений ур-нпй турбулентного П. с. привлекаются дополнит. гипотезы и допущения. В частности, весьма плодотворной оказалась предложенная Л. Прандтлем гипотеза "пути перемешивания" l, позволяющая выразить коэф. турбулентной вязкостп через ср. плотность и градиент ср. скорости

С помощью аналогичных выражений могут быть представлены также коэф. турбулентной теплопроводности и коэф. турбулентной диффузии.
В общем случае турбулентный П. с. можно по высоте разделить на 3 области (рис. 5): пристеночный ламинарный подслой, где турбулентные пульсации затухаюти решающую роль играют молекулярные вязкость и теплопроводность; турбулентное ядро, в к-ром турбулентные вязкость и теплопроводность существенно превышают соответствующие молекулярные переносные свойства, и промежуточную переходную область. В результате многочисленных эксперпм. исследований установлено, что распределение скорости внутри турбулентного ядра описывается нек-рым универсальным эмпирич. законом

где - т. н. скорость сдвига, или динамич. скорость, а - кинематич. вязкость. Следует отметить, что логарифмич. закон распределения скорости внутри турбулентного ядра П. с. может быть получен исходя из ф-лы Прандтля для турбулентной вязкости (11) в предположении, что входящий в эту ф-лу путь перемешивания l пропорц. расстоянию от стенки. При построении приближённых методов расчёта турбулентного П. с. широко используются также степенные профили скорости и темп-ры

где Т ₀, Т ₀₁ и T_w - соответствующие темп-ры торможения в П. с., на границе П. с. и стенки. Значения показателей степени для дозвуковых скоростей изменяются от ¹/₇ до ¹/₉ при увеличении числа Рейнольдса и несущественно возрастают при больших числах Маха. В прикладных расчётах трения, тепло- и массообмена в турбулентном П. с. наиб. распространение получили полуэмпирич. методы, в частности метод, основанный на эксперим. данных по турбулентному трению на плоской пластине (аналогия процессов тепломассообмена и трения и введение понятия "эффективной длины"). Эксперпм. данные по турбулентному коэф. трения на плоской пластине, обтекаемой сверхзвуковым потоком, могут быть представлены аппроксимационной ф-лой

где - коэф. поверхностного трения, - число Рейнольдса, Т_е = Т ₁ (1 + r (k - 1) М²/ 2 ) - равновесная темп-pa стенки, r - коэф. восстановления темп-ры, М ₁ - число Маха внеш. потока, k = с_р/с_V - отношение теплоёмкостей при пост. давлении и пост. объёме.

Предположение об аналогии процессов тепломассообмена и трения, следующее из самого вида ур-ний П. с., позволяет для безразмерного коэф. теплообмена на пластине - Нуссельта числа Nu - записать ф-лу, к-рая хорошо согласуется с имеющимися эксперим. данными:

( - коэф. теплоотдачи, - коэф. теплопроводности газа на стенке). Для переноса этой зависимости на случай П. с. на теле произвольной формы может быть использован предложенный В. С. Авдуевским метод "эффективной длины", предполагающий, что тепловой поток в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в нек-рой точке на пластине при одинаковых местных параметрах течения и при условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины толщины потери энергии (8) также одинаковы. Т. о., задача теплообмена сводится к определению эфф. длины пластины, для к-рой достигается необходимое значение толщины потери энергии. Если темп-pa стенки постоянна, то, напр., для осесимметричного тела при произвольном распределении давления вдоль поверхноста эфф. длина х_эф равна

где R - переменный радиус поперечного сечения тела, a u ₁ - скорость жидкости или газа на внеш. границе П. с.

Рис. 5. Внутреннее строение турбулентного пограничного слоя.

Течение в П. с. оказывает решающее влияние на явление отрыва потока от поверхности обтекаемого тела как во внешних (напр., обтекание крыла), так и во внутренних (напр., течение в диффузоре) течениях. Отрыв происходит в результате совместного действия двух осн. факторов - торможения жидкости в П. с. и воздействия перепада давления. Внутрп П. с. скорость жидкости или газа уменьшается и её кинетич. энергии оказывается недостаточно для преодоления возрастающего давления. В результате вблизи поверхности возникает область возвратного течения, П. с. утолщается и, наконец, осн. поток отрывается от стенки (рис. 6) (см. Отрывное течение).
Способность течения в П. с. противостоять повышению давления имеет важное значение в случае падения на тело ударных волн, или скачков уплотнения. Существует критич. значение отношения давлений в скачке р₂/p₁ (т. н. критич. перепад, где р₂ - давление за, а р₁ - перед скачком уплотнения), при к-ром взаимодействие скачка уплотнения с П. с. приводит к отрыву последнего.

Рис. 6. Отрыв пограничного слоя при наличии положительного градиента давления.

Величина критич. перепада давления (р₂ / р₁)_кр зависит от режима течения в П. с., числа Маха, а для ламинарного П. с. и от числа Рейнольдса. При воздействии достаточно сильного скачка уплотнения на тело П. с. отрывается и возникает конфигурация т. н. -скачка, у к-рого наклон передней "ножки" формируется таким образом, чтобы перепад давления на ней был равен критическому (рис. 7).

Рис. 7. Картина течения при взаимодействии пограничного слоя с действующим на тело скачком уплотнения.