Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

Занятие я хочу начать притчей. “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а^х монотонна, то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в >0. Именно к виду а^х=в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”.

Лейбниц.

1.Простейшие уравнения:

а)2^х-5 = 16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5 = 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

б)3^х = -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2 = 350
7^х + 7^х 7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16^х – 17 4^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁ = 1, то 4^х = 1, 4^х = 4⁰, х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4^х = 16, 4^х = 4², х₂ = 2

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15^х + 20^х = 25^х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15²+ 20² = 25²

625 = 625

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+ = 1

+ = 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х = 2.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

у = 4^х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4¹ = 5-1, 4 = 4 (верно)

Ответ: х = 1.

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2³ · 2⁵ · … · 2^2х-1 = 512

2^{1+3+5+…+2х-1} = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n = х= х·х = х²

⁹
х² = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ((не удовлетворяет)

Ответ: х = 3.

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4^х – 13 6^х + 6 ·9^х = 0
6 ·2^х – 13 ·2^х 3^х +6· 3^2х = 0

Так как 3^2х 0, то разделим обе части уравнения на 3^2х, тогда получим

^–

6· ( ^2х – 13· ( ^х + 6 = 0

Путь( ^х =t, тогда получим уравнение 6t² – 13t + 6 = 0

D = 13² -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _, t₂ = _.

Если t₁ = ^х = _, ^х = ()¹, х₁ = 1.

Если t₂ = ^х = _, ^х = ()^-1, х₂ = -1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = -1.