При нахождении угла между прямой/вектором и плоскостью удобно применять векторное произведение, чтобы найти нормаль к плоскости, если не дано уравнение плоскости.
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах 
и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к 
вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .
Векторное произведение двух векторов можно найти при помощи матрицы размером 
.
Даны векторы 
и 
,лежащие в плоскости α, тогда
Другими словами, произведение векторов равно
Коэффициенты при i, j, k и будут являться искомыми координатами нормали к плоскости α.
Пример: Найти координаты нормали к плоскости, если координаты векторов, принадлежащих этой плоскости равны
= {1; 2; 3} и 
= {2; 1; -2}.
Решение:
Координаты вектора, перпендикулярного к данной плоскости, будут равны 
{-7; 8; -3}
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
|
|
Пусть в пространстве заданы точки не лежащие на одной прямой М1, М2, М3, заданные точки определяют единственную плоскость. Составим ее уравнение.
|
|
Для это выберем на плоскости произвольную т.М, которая имеет не фиксированные, а переменные координаты (обычно обознч. x,y,z).
Составим вектора:
Т.к. все три точки лежат в одной плоскости => все вектора лежат в одной плоскости, такие вектора называют компланарными.
Это значит, что смешанное векторное произведение равно нулю.
= 0
= 0 - уравнение плоскости, проходящей через три точки
Примеры решения задач с разбором:
1. В правильной шестиугольной призме A...F1,все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BD1
Решение:
1) Определим координаты нужных точек:
2) Получим необходимые векторы для решения задачи и вычислим их координаты:
3)
Ответ: 0,8
2. В единичном кубе A..D1 найдите косинус угла между AE и BF, где Е – середина ребра A1D1, а F – середина ребра B1C1
Решение:
1) Найдем необходимые точки для решения задачи:
A (1;0;0) B(1;1;0)
E (1; 
;1) F(;1;1)
2) Найдем координаты необходимых векторов:
3) Через скалярное произведение вычислим косинус:
Ответ: 0,8
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE, где D и E - соответственно середины ребер A1C1 и B1C1
Решение:
1) Найдем координаты необходимых для решения задачи точек:
C(0;0;0) E(
) A(1;0;0) D(
)
2) Вычислим координаты направляющих векторов прямых AD и CE:
 |  | ||
3) Вычислим косинус угла между векторами:
 | |||
 | |||
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Решение:
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 |
Ответ:
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где Е - середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC
Решение:
1) Для того, чтобы найти угол между плоскостью и прямой, нужно выделить вектор нормали плоскости и направляющий вектор данной прямой. Из обозначенных точек найдем координаты вектора нормали плоскости (CAS) 
и направляющий вектор прямой 
:
2) Найдем угол между этими векторами:
6. В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и 
.
Решение:
1.Вводим систему координат xyz с началом в т.E.
2.а) Найдем координаты направляющего вектора прямой A1B, для этого найдем координаты точек A1 и B.
Длину отрезка AE найдем по теореме косинусов из треугольника AOE:
Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычтем координаты начала. Получим:
б) Найдем координаты направляющего вектора прямой, для этого найдем координаты точек и
 | |||
 | |||
3.Найдем косинус угла между векторами и.
Ответ:
7. В единичной призме 
точка М лежит на 
, при этом AM:M 
как 1:3. Найдите угол между CM и AM.
1. Вводим декартову систему координат xyz с началом отсчёта в т.B.
2. Находим координаты точек C,M,A.
a) Угол между осью х и CB равен 90-60=30o
Отсюда, расстояние от т.С (CK) до оси х равно ½ (катет, лежащий напротив угла в 300)
б) По теореме Пифагора: 
в) 
3. Находим координаты векторов 
|
3. Находим косинус угла между
4. 
5. По таблице Брадиса находим искомый угол.
Ө=47o
Ответ: Ө=47о
8. Точки 
— середины ребер и соответственно куба 
Найти угол между прямой 
и плоскостью, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой 
.
Решение:
Координатно-векторный способ.
Пусть ребро куба равно 2.
Введем декартову систему координат, как показано на рис.
Найдем координаты необходимых точек:
Если 
— искомый угол, то:
Ответ: 
9. В правильной шестиугольной пирамиде МАBCDEF, стороны основания которого равны 1, а боковые ребра 4, найти синус угла между прямойВС и плоскостью EMD.
Введем декартову систему координат, как показано на рис.
Найдем координаты необходимых точек:
, 
, 
Выберем произвольную точку G в плоскости EMD, у которой будут не фиксированные координаты 
;
Затем находим необходимые для дальнейшего решения векторы
; 
; 
; 
;
Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через три точки
= 0; Раскрываем определитель, раскладывая его по первой строке, и вычисляем полученные определители второго порядка
x * 
= 0
x*(
) – y*(
) +
= 0
Раскрываем скобки и получаем уравнение плоскости
Следовательно, координаты нормального вектора заданной плоскости ─ 
Найдем синус угла между векторами 
= 
= 
Ответ: =
10. В кубе A…D1 определить угол между плоскостями ADD1 и BDC1.
Решение: Пусть рёбра данного куба будут иметь длину, равную длине единичного вектора, тогда найдём координаты точек куба. D (0;0;0), A1 (1;0;1), D1 (0;0;1), B (1;1;0), C1 (0;1;1). Находим координаты векторов, принадлежащих данным плоскостям:
 |
1. 
{1;0;1};
{0;0;1);
2. 
{0;1;1);
{-1;-1;0}.
Далее находим координаты векторов, перпендикулярных к данным плоскостям:
| i | j | k |
1. 
=
=i*(0)+j*(-1)+k*(0)
Откуда {0;-1;0}.
| i | j | k |
2. 
=
=i*(-1)+j*1+k*(-1)
Откуда {-1;1;-1}.
Теперь найдём косинус угла между нормалями:
| (-1)*0+1*(-1)+(-1)*0 |
 * 
|
| |
cos(α)= ‘ sin(α)=
11. В единичном кубе A...D 1 найдите угол между плоскостями AED1 и FD1C, где F – середина ребра C1B1, а E – середина ребра A1B1
Решение: 
Нахождение угла между плоскостями AD1E и D1CF сводится к решению задачи на нахождение угла между нормалями соответствующих плоскостей.
1) Найдем координаты точек, необходимых для нахождения уравнения плоскости AD1E: 
2) Найдем уравнение плоскости AD1E и соответствующий ей вектор нормали плоскости:
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости
3) Найдем координаты точек, необходимых для нахождения уравнения плоскости D1FC:
4) Найдем уравнение плоскости D1FC и соответствующий ей вектор нормали плоскости:
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости
5) Через скалярное произведение векторов вычислим косинус угла между векторами нормалей плоскостей:
Ответ:
12. В кубе A…D1 найдите синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1.
Решение. Пусть рёбра данного куба будут иметь длину, равную длине единичного вектора, тогда координаты точек куба A, C, B1, A1, D1 будут равны соответственно (1;1;0), (0;0;0), (0;1;1), (1;1;1), (1;0;1). Отсюда вектор A1D1 будет иметь координаты {0;-1;0}, а векторы 
и 
, принадлежащие плоскости, соответственно {0;1;1} и {1;1;0}. Находим вектор , являющийся нормалью к плоскости.
| i | j | k |
=
=i*(-1)+j*1+k*(-1)
Таким образом, вектор имеет координаты {-1;1;-1}. Подставляя полученные значения в формулу, получаем:
| (-1)*0+1*(-1)+(-1)*0 |
| *
|
sin(α)=
 |