Динамика поступательного движения

Введение

 

 

Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания.

Предназначены для студентов, изучающих раздел курса общей физики «Механика». В методических указаниях представлены примеры решения типичных задач разной степени трудности. Решения сопровождаются необходимыми примерами и комментариями. Задачи систематизированы по основным темам раздела. По каждой теме приведены основные формулы, облегчающие усвоение алгоритмов решения задач.

 

 

КИНЕМАТИКА

Основные формулы

 

Средняя скорость тела за промежуток времени Δ t определяется отношением перемещения тела Δ r к промежутку времени Δ t:

где – радиус–вектор начальной точки, – конечной.

Средний модуль скорости тела за промежуток времени Δ t есть отношение пути S, пройденного телом за это время, к Δ t:

.

Средним ускорением называется отношение изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

.

Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора точки по времени

и направлена по касательной к траектории; для прямолинейного движения ,

ускорения .

Кинематические соотношения для прямолинейного равнопеременного движения:

,

,

где υ ₀ скорость тела в момент времени t = 0, a – ускорение тела.

При криволинейном движении полное ускорение тела раскладывается на нормальную и тангенциальную к траектории составляющие: .

Тангенциальная составляющая ускорения определяет изменение модуля скорости: ,

нормальная – изменение направления скорости:

,

где R –радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории.

Модуль полного ускорения:

.

При движении по окружности кинематическими характеристиками являются:

– угол поворота φ,

– угловая скорость ω = ,

– угловое ускорение ε= = .

Кинематические уравнения для вращательного равнопеременного движения:

ε t

φ = ω₀ t + ε ,

где ω₀ – угловая скорость в момент времени t =0, e – угловое ускорение.

Линейные и угловые параметры движения связаны соотношением: υ = ω R, a _τ = ε R.

 

 

Примеры решения задач

Задача 1

Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением S=A+Bt+Ct ² +Dt ³, где С =0,14 , D =0,01 . Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 1 ? Чему равно среднее ускорение тела за время от t = 0 до t = 1 ?

 

Решение

Мгновенное ускорение тела в момент времени t можно найти как вторую производную от пути:

a = = (B+ 2 Ct+ 3 Dt ² ) = 2 C+ 6 Dt.

Надо определить значение t, при котором a = 1 .

Получим: t = .

Подставив численные значения, получим:

t = = 12 с.

Чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени от t ₁ до t ₂, надо определить величины скорости в момент времени t ₁ и t ₂ и их разность разделить на t ₂– t ₁:

a _ср= .

Скорость находим как производную пути по времени:

υ = B+ 2 Ct+ 3 Dt ²,

υ ₁ = B+ 2 Ct ₁ + 3 Dt ₁²,

υ ₂ = B+ 2 Ct ₂ + 3 Dt ₂².

Разность скоростей:

υ ₂– υ ₁ = 2 С (t ₂– t ₁)+ 3 D (t ₂² – t ₁²) = (t ₂ – t ₁)[2 С +3 D (t ₂+ t ₁)],

подставляем в формулу для среднего ускорения:

a _ср = = 2 С+ 3 D (t ₂+ t ₁).

Подставив численные значения, получим:

a _ср= 0,28 + 3^.0,01 ^.1с = 0,31 .

 

Задача 2

Тело брошено со скоростью υ ₀ = 14,7 , под углом α = 30^о к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через t = 1,25 с после начала движения, а также радиус кривизны траектории в данный момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать.

 

Решение

Полным ускорением является ускорение свободного падения . Оно раскладывается на тангенциальную и нормальную составляющие. Если горизонтальную ось обозначить x, а вертикальную y, то g направленно по оси y, a τ– по касательной к траектории, а an – по нормали к ней.

 

Полная скорость тела направлена по касательной к траектории, её можно разложить на горизонтальную составляющую– υ_x и вертикальную составляющую – υ_y. Треугольники скоростей и ускорений прямоугольные и угол между υ_у и υ такой же, как и между a _τ и g (так как a _τ и υ направлены по касательной к траектории, а υ_y и g – по оси y). Таким образом, чтобы найти a_n и a _τ, нужно определить в данный момент времени υ_x, υ_у, υ.

 

υ_x = υ ₀ cos α = const,

υ _у = - υ ₀ sin α + gt

(так как мы выбрали направление оси y вниз),

υ = .

 

Из подобия треугольников имеем:

= , = ,

отсюда a _τ = g , a_n = g .

Радиус кривизны траектории определяется из условия:

a_n = ,

значит R = = .

Подставив численные значения, получим:

a_τ = = 3,55 ,

a_n = = 9,15 ,

R = = 10 м.

 

Задача 3

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

 

Решение

Запишем кинематические соотношения для вращательного движения: ω = ω₀ – ε t, φ = ω₀ t – ε .

В условии задана не угловая скорость ω, а частота вращения ν, ω = 2πν, φ = 2π Ν.

Подставляем эти соотношения в уравнения:

2πν = 2πν₀ – ε t.

Отсюда ε = ,

2π Ν = 2π ν₀ t – ε = 2πν₀ t – 2π (ν₀–ν) = 2π (ν₀+ν) ,

или N = (ν₀+ν) .

Подставив числовые значения, найдём:

ε = 750 мин ^-2 = 0,208 с ^-2,

N = 240 оборотов.

 

Задача 4

Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60^о с направлением линейной скорости этой точки.

Решение

a τ α

Скорость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По касательной направлено и тангенциальное ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным ускорением равен углу между ускорением и скоростью.

 

_­ На чертеже видно, что a_n = a _τ tg α. (1)

Выражаем a_n и a_τ через угловые параметры движения:

a_n = ω² R, a _τ = ε R,

и подставляем в (1)

ω² R = ε R tg α. (2)

При нулевой начальной скорости

ω = ε t.

Подставляем в (2):

ε² t ² = ε tg α,

ε = = 0,43 с^-2.

 

 

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основные формулы

 

Уравнение динамики поступательного движения тела:

,

где m – масса тела, – его ускорение, – сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость: .

Закон изменения импульса:

= .

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = F_s ds = Fds cosα,

где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

A = .

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени: N = .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

 

N = .

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

 

,

где m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести:

E _п= mgh

(m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

E _п =

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

Σ = const.

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E _k + E _п = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела: A _conp = E ₁ – E ₂.

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 5

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

 

Решение

Разрежем мысленно канат в месте сгиба и соединим обе части невесомой нерастяжимой нитью. Когда канат только начнёт скользить, все силы уравновесятся (так как он движется ещё без ускорения), а сила трения достигает величины силы трения скольжения, F _тр = μ Ν.

Условия равновесия сил:

mg = N

F _тр = T

mg = T m

Отсюда: μ mg = mg,

или μ =

 

 

Задача 6

 

 

Решение

x y Запишем уравнения движения обоих тел:

А: m = m +

x x x В: m = m + +

В проекциях для тела А:

– ma=T – mg (3)

Для тела В по оси х:

– ma = – T + mg sina (4)

0 = N – mg cos a (5)

 

 

Если сложить уравнения (3) и (4), то получим:

–2 ma = – mg + mg sin a,или

a = g

Подставив это значение, например, в уравнение (3) (можно в (4)), получаем: T = mg – ma = mg

Подставляем числовые значения:

a = 9,8 = = 2,45

T = 1 ∙ 9,8 = 7,35 H

 

 

Задача 7

Вагон массой 20 т, двигавшийся равномерно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время остановился. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения; 2) расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.

Решение

Работа равна приращению кинетической энергии тела:

A _тр = 0 – = – ,

Знак «–» означает, что работа сил трения отрицательна, так как силы трения направлены против движения.

С другой стороны, работу силы трения можно рассчитать через произведение силы на путь:

A _тр = F _тр^. S,

отсюда S = =

 

Подставив числовые значения:

m = 2^.10⁴ кг, F _тр = 6^.10³ Н, υ = 15 ,

получим:

A _тр = = 2,25^.10⁶ Дж = 2,25 МДж,

S = = 358 м.

 

Задача 8

Камень бросили под углом α= 60^о к горизонту со скоростью υ ₀=15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Решение

Выберем ось х – по горизонтали, а ось у – по вертикали.

Проекции скорости:

υ_x = υ ₀cos a,(6)

υ _о υ_y = υ ₀sin a – gt (7)

a x В момент времени t модуль скорости определится из соотношения:

υ ² = υ ₀² cos² a + (υ ₀sin a– gt)²= υ ₀²– 2 υ ₀ gt sin a + g ² t ².

Высота камня над поверхностью земли в момент времени t определяется из соотношения:

h = υ ₀ sin a - . (8)

Находим кинетическую, потенциальную и полную энергию в момент времени t:

E _k = = (υ ₀²– 2 υ ₀ gt sin a + g ² t ²),

E _п = mgh = (2 υ ₀ gt sin a – g ² t ²),

E = E _k + E _п = .

В высшей точке траектории υ_y = 0. Этой точки камень достигает за время = (из (7)), и максимальная высота подъёма h _max= (из (8)).

E _k = = ,

E _п = mgh _max = ,

E = E _k+ E _п = .

Подставляем числовые значения. В момент времени t = 1 c.

E _k=17,4 Дж, E _п = 5,1 Дж, E = 22,5 Дж.

В высшей точке траектории:

E _k =16,9 Дж, E _п = 5,6 Дж, E = 22,5 Дж.

 

 

Задача 9

На рельсах стоит платформа массой m ₁ = 10 т, на платформе закреплено орудие массой m ₂= 5 т, из которого проводится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m ₃= 100 кг, его начальная скорость относительно орудия υ ₀ = 500 м/с. Определить скорость υ_x платформы в первый момент времени, если: 1) платформа стояла неподвижно, 2) платформа двигалась со скоростью υ ₁= 18км/ч, и выстрел был произведён в направлении её движения, 3) платформа двигалась со скоростью υ ₁= 18 км/ч, и выстрел был произведён в направлении, противоположном её движению.

 

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы до какого-либо события (в данном случае выстрела) должен быть равен её импульсу после события. За положительное выбираем направление скорости снаряда. До выстрела вся система имела импульс (m ₁+ m ₂+ m ₃) υ ₁, после выстрела платформа с орудием движутся со скоростью υ_x, их импульс (m ₁+ m ₂) υ_x, а снаряд относительно земли движется со скоростью υ ₀ + υ ₁, его импульс m ₃(υ ₀+ υ ₁). Закон сохранения импульса записывается так:

(m ₁ + m ₂ + m ₃) υ ₁ = (m ₁ + m ₂) υ_x + m ₃(υ ₀ + υ ₁),

отсюда υ_x = = υ ₁ – υ ₀.

Подставляем значения масс, υ ₁ и υ ₀:

1) υ ₁ = 0

υ_x = – 3,33 м/с.

Знак минус означает, что платформа с орудием движется противоположно направлению движения снаряда;

2) υ ₁ = 18 км/ч = 5 м/с,

υ_x = 5 – 3,33 = 1,67 м/с.

Платформа с орудием продолжает двигаться в направлении выстрела, но с меньшей скоростью;

3) υ ₁ = – 18 км/ч = – 5 м/с

υ_x = – 5 – 3,33 = – 8,33 м/с.

Скорость платформы, двигавшейся в направлении, противоположном направлению выстрела, увеличивается.

 

 

Задача 10

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 10^о.

 

Решение.

Если пуля застревает в шаре, то удар

абсолютно неупругий, и выполняется только закон сохранения импульса. До удара пуля имела импульс mυ, шар импульса не имел. Непосредственно после удара пуля с шаром имеют общую скорость υ ₁, их импульс (M + m) υ ₁.

Закон сохранения импульса:

m υ = (M + m) υ ₁,

отсюда υ ₁ = υ.

Шар вместе с пулей в момент удара приобрёл кинетическую энергию:

E _k = υ ₁²= υ ²= .

 

За счёт этой энергии шар поднялся на высоту h, при этом его кинетическая энергия переходит в потенциальную:

E _k = E _п Þ = (M + m) gh. (9)

Высоту h можно выразить через расстояние от точки подвеса до центра шара и угол отклонения от вертикали

h = L – L cos a = L (1 – cos a).

Подставив последнее выражение в соотношение (9), получим:

a L = gL (1 – cos a),

h и определим скорость пули:

 

υ = .

Подставив числовые значения, получим:

 

υ = 1001 » 543 м/с.

 

 

Задача 11

Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальным и минимальным натяжениями верёвки равны 9,8 Н.

 

 

Решение

В верхней точке траектории и сила тяжести, и сила натяжения верёвки направлены вниз.

L Уравнение движения в верхней точке имеет вид:

L ma_n = m = mg + T ₁.

В нижней точке траектории сила тяжести направлена вниз, а сила натяжения верёвки и нормальное ускорение вверх. Уравнение движения в нижней точке:

ma_n = m = T ₂ – mg.

По условию камень вращается с постоянной скоростью, поэтому левые части обоих уравнений одинаковы. Значит, можно приравнять правые части:

mg + T ₁ = T ₂ – mg,

отсюда T ₂ – T ₁ = 2 mg,

m = .

Подставляем числа: m = = 0,5 кг.

 

 

Задача 12

Шоссе имеет вираж с уклоном в 10° при радиусе закругления дороги в 100 м. На какую скорость рассчитан вираж?

 

Решение

Сила, действующая на автомобиль, складывается

из силы тяжести и силы нормального давления . Сумма этих сил обусловливает нормальное ускорение автомобиля при повороте.

Из треугольника сил видно, что: = tg a.

Рассчитаем a_n, сократив массу

= tg a,

отсюда υ = =41,5 м/с.

 

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные формулы

 

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I = Σ m_i ∙ r_i ²,

где m_i – элементарная масса i – го кусочка тела, r_i – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр I = m (R ₁² + R ₂²).

Тонкий обруч I = mR ².

Сплошной цилиндр I = mR ².

Шар I = mR ².

Тонкий стержень I = ml ².

 

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I ₀ + ma ²,

где I – момент инерции тела относительно данной оси, I ₀ – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m – масса тела, а – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела: I e = M,

где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения, e – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен: M = F l,

где l – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси: L = I ω,

где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси: L = m υ r,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется: Σ L_i = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

E _k = ,

где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

 

Кинетическая энергия катящегося тела:

E _k = + ,

 

где m – масса тела, υ ₀ – скорость поступательного движения центра масс, I ₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.

 

 

Примеры решения задач

Задача 13

Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

 

Решение

Разобьём конус на цилиндрические слои ось толщиной dr. Масса такого слоя

dm = rp r ² dr,

где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя

dI = dm^.r ².

Момент инерции всего конуса складывается из моментов инерции всех слоёв:

I = = ρπ r ⁴ dr = ρ R ⁵.

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра:

m = = = R ³,

отсюда ρ = ,

I = = mR ².

 

Задача 14

Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м², вращается с частотой 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

 

Решение

При торможении угловое ускорение отрицательно. Найдём его модуль из кинематического соотношения для угловой скорости.

ω ₀ = 2 π ν ₀, ω = 0,

0 = 2 π ν ₀ - ε t,

отсюда ε = .

Это ускорение обусловлено действием момента сил трения

M _тр = I ε = .

Полный угол поворота при равнозамедленном движении находится из соотношения:

φ = ω₀ t - ,

φ =2π N, ω ₀ = 2 π ν ₀, ε = .

Перепишем соотношения для угла в виде:

2π N = 2 π ν ₀ t - = 2 π ν ₀ t - = .

Для нахождения числа оборотов получим:

N = .

Подставив числовые значения, найдём:

M _тр = = 506 Нм,

N = = 600 об.

 

 

Задача 15

На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого равен I = 0,1 кг∙м², намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения высота груза над полом равна h ₁ = 1 м. Найти: 1) через какое время груз опустился до пола; 2) кинетическую энергию груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити. Трением пренебречь.

Решение

R T T m h 1

На груз действует сила тяжести mg и сила натяжения шнура Т. Уравнение поступательного движения груза ma = mg – T.

Барабан вращается вокруг неподвижной оси. Его уравнение движения M = I ε,

где М – момент силы натяжения шнура, М = TR, I – момент инерции барабана,ε = – его угловое ускорение.

TR = I .

Выражаем отсюда силу натяжения шнура:

T = I (10)

и подставляем ее в уравнение движения груза:

mg = a (m + ) = am (1 + ).

 

Получаем ускорение груза:

a = . (11)

 

Время движения груза можно найти из уравнения:

h ₁ = ,

t = = .

В момент удара о пол груз имел скорость:

 

υ = at = .

Следовательно, его кинетическая энергия:

E _k = = .

Подставив выражение для ускорения (11) в формулу (10), получим: T = = .

Подставив числовые значения, определим искомые величины:

t = = 1,1 c,

E _k = = 0,82 Дж,

T = = 4,1 Н.

 

 

Задача 16

Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку υ = 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество тепла Q, выделившееся при ударе.

 

Решение

Кинетическая энергия катящегося тела равна:

E _k = + . (12)

Момент инерции шара I = ,

угловая скорость вращения w = .

Подставляем эти величины в формулу (12):

E _k = + = m υ ².

Количество тепла, выделившегося при ударе, равно разнице его кинетических энергий до и после удара:

Q = E _k1 – E _k2 = m υ ₁² - m υ ₂² = m (υ ₁² - υ ₂²).

Подставив числовые значения, получим:

а = ∙1(100∙10^-4 – 64^.10^-4) = 10^-4 = 2,25∙10^-3 Дж = 2,52 МДж.

 

 

Задача 17

Найти кинетическую энергию велосипеда, едущего со скоростью υ = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем на колеса приходится масса m ₁ = 3 кг. Колеса считать тонкими обручами.

 

Решение

Кинетическая энергия велосипеда складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения колес.

E _k = + .

Момент инерции колес, представляющих собой тонкие обручи, равен I = ,а угловая скорость вращения w = .

Подставляем эти значения в выражение для кинетической энергии: E _k = + =