ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
Методические указания к практическим занятиям по физике
для студентов 1-го курса технических специальностей
всех форм обучения
Ростов-на-Дону
Составители:
| кандидат физико-математических наук, доцент кандидат физико-математических наук, доцент кандидат физико-математических наук, доцент | В.В. Шегай Н.В. Дорохова В.П.Сафронов |
УДК 537.8
Динамика твердого тела. Работа. Мощность. Энергия. Метод. указания к практическим занятиям по физике /РГАСХМ ГОУ, Ростов н/Д, 2010. — 28 с.
Методические указания представляют собой руководство для проведения практических занятий и выполнения самостоятельных работ в 1-ой части курса физики по темам: динамика вращательного движения, закон сохранения момента импульса, работа и мощность при поступательном и вращательном движениях, энергия, законы изменения и сохранения механической энергии
Дается необходимый справочный материал, приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения.
Указания предназначены для студентов 1-го курса РГАСХМ технических специальностей.
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии
| Научный редактор | кандидат физико-математических наук, доцент | В. В. Шегай |
| Ó | Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 2010 |
Оглавление
| 1. | Краткие теоретические сведения | |
| 2. | Примеры решения задач | |
| 3. | Задачи для самостоятельного решения | |
| 4. | Варианты заданий для самостоятельной работы | |
| 5. | Обозначения и единицы физических величин в СИ | |
| 6. | Литература |
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
|
|
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1. Момент силы 
относительно выбранной оси вращения характеризует силовое взаимодействие тел при вращательном движении. По модулю равен произведению силы F на плечо
,
где h — плечо силы — кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения). Моменты, вращающие тело против часовой стрелки, считаются положительными, по — отрицательными. Вектор момента силы совпадает с осью вращения.
1.2. Момент инерции I мера инертности тел во вращательном движении и зависит от массы тела и ее распределения относительно оси вращения.
Частные случаи.
Момент инерции материальной точки массой m:
,
где r — расстояние от точки до оси вращения.
Момент инерции системы N материальных точек:
.
Моменты инерции тел массой m и радиусом R относительно оси симметрии:
обод (тонкостенный цилиндр): 
,
сплошной однородный цилиндр или диск: 
,
однородный шар: 
.
Однородный стержень длиной l (ось вращения проходит перпендикулярно середине стержня):
.
1.3. Момент инерции тела относительно смещенной оси вращения (теорема Штейнера):
,
где I0 — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; d — расстояние между осями вращения.
1.4. Основной закон динамики вращательного движения:
,
где M — алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело; 
— угловое ускорение.
1.5. Момент импульса тела L относительно неподвижной оси вращения:
|
|
,
где ωугловая скорость тела. Моменты импульсов тел, вращающихся, по часовой стрелке считаются отрицательными, против — положительными.
1.6. Закон сохранения момента импульса (для неподвижной оси).
Если сумма моментов всех внешних сил равна нулю, то алгебраическая сумма моментов импульсов тел не меняется:
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ЭНЕРГИЯ
2.1. При поступательном движении элементарная работа dA силы 
при элементарном перемещении на 
равна скалярному произведению:
.
При конечном перемещении тела из точки (1) в точку (2) механическая работа:
.
В частном случае 
, 
, получаем
,
где S 12 — путь, пройденный под действием силы 
.
При вращательном движении: 
,
где M — момент сил; d φ— элементарный поворот тела.
В частном случае M = const:
2.2. Мощность N — скорость совершения работы.
Для поступательного движения:
,
где v — скорость тела; α — угол между векторами силы и скорости.
Для вращательного движения:
,
где ω— угловая скорость.
2.3. Энергия — способность тела совершать работу.
Кинетическая энергия E к — энергия, связанная с движением тел.
Для поступательного движения:
,
где ь — масса; v — скорость тела.
Для вращательного движения 
,
где I — момент инерции; ω— угловая скорость тела.
2.4. Потенциальная энергия Е п — энергия, связанная с взаимодействием тел.
Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли:
,
где g — ускорение свободного падения.
Потенциальная энергия упругой деформированной пружины
,
где k — коэффициент жесткости; Δ x — удлинение (сжатие) пружины.
|
|
2.5. Теорема об изменении кинетической энергии.
Изменение кинетической энергии тела 
равно работе A равнодействующей силы:
.
2.6. Работа потенциальных сил при перемещении материальной точки равна убыли ее потенциальной энергии:
2.7. Закон сохранения механической энергии.
Если в замкнутой системе действуют только потенциальные силы, то
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Маховик, имеющий форму диска массой m = 5 кг и радиусом R = 0,2 м, свободно вращается с частотой n = 720 об/мин. При торможении маховик движется равнозамедленно и полностью останавливается через t = 20 с. Определить тормозящий момент М и число оборотов маховика N до полной остановки.
Дано: 
кг, 
м, 
с–1 , 
с.
Определить: M,N.
| R |
|
|
|
|
| Рис. 1 |
Определим момент силы трения M.
Торможение маховика происходит под действием момента сил трения M (рис.1). По основному закону динамики вращательного движения
. (1)
Момент инерции диска
(2)
В нашем случае при равнозамедленном вращении угловая скорость 
меняется по закону: 
, где 
(3)
Подставляя (2) и (З) в (1), получаем:
Нּм.
Знак (–) указывает, что угловое ускорение и момент силы трения направлены против начальной угловой скорости.
Определим число оборотов N. При равнозамедленном движении угол поворота маховика до остановки:
.
Учитывая (3) и то, что 
, получаем:
.
.
Ответ: M = 0.38 Нּм: N = 120 оборотов.
2. Диск радиусом 
м и массой 
кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой 
об/мин. В центре диска стоит человек массой 
кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край диска? Человека считать материальной точкой.
Дано: 
м, 
кг, 
кг, 
с–1 .
Определить: 
.
|
|
|
|
| R |
| R |
|
|
| Рис. 2 |
По закону сохранения момента импульса
, (1)
где 
— момент инерции диска; 
и 
— моменты инерции человека в центре и на краю диска, соответственно; 
и 
угловые скорости диска с человеком, стоящим в центре и на краю диска, соответственно (см. рис. 2). Связь линейной и угловой скорости
. (2)
Выразив 
из уравнения (1) и подставив его в формулу (2), получим
.
Момент инерции диска равен
.
Момент инерции материальной точки (человека) равен
, 
Угловая скорость диска до перехода человека
Подставив в (3) выражения для 
, 
, 
и 
, получим
.
Численный расчет
(м/с).
Ответ: 
м/с.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 3 |
кг и 
кг. Масса блока 
кг. Считая блок однородным диском, найти линейное ускорение системы 
.
Дано: 
кг, 
кг, 
кг .
Определить: .
РЕШЕНИЕ
Расставим действующие на тела силы и моменты сил (рис.3).
На первое тело действуют сила тяжести 
и сила натяжения нити 
. На второе тело, аналогично, 
и 
.
На блок действуют момент силы 
:
,
и момент силы 
:
,
где 
— радиус блока.
После расстановки сил и их моментов к каждому телу можно применить основное уравнение динамики. Для первого тела в проекциях на направление движения:
, (1)
для второго тела
, (2)
для блока 
или 
. (3)
Решаем уравнения (1), (2) и (З) совместно относительно , учитывая, что 
:
.
Численный расчет 
м/с2.
Ответ: 
м/с2.
4. Найти кинетическую энергию 
велосипедиста, едущего со скоростью 
м/с. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 
кг, причем на колеса приходится масса 
кг. Колеса велосипеда считать обручами.
Дано: 
кг, 
кг, 
м/с.
Определить: 
.
РЕШЕНИЕ
Движение твердого тела можно представить, как поступательное движение центра инерции с кинетической энергией 
и вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр инерции, с кинетической энергией 
. В нашем случае вращаются только колеса, поэтому
Связь линейной и угловой скоростей
,
где R — радиус колеса. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр
Подставляя это выражение в (1), получаем
Численный расчет: 
(Дж).
Ответ: 
Дж.
5. По ободу шкива, насаженного на общую ось с колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 
кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом вращалось с частотой 
об/мин? Момент инерции колеса 
кгּм2, радиус шкива 
м.
|
|
| Рис. 4 |
кг, 
с–1, 
кгּм2, 
м.
Определить: h.
РЕШЕНИЕ
В начальный момент система обладала только потенциальной энергией 
(рис.4). Когда груз, опустился на высоту h, энергия системы складывается из кинетической энергии вращения колеса 
и кинетической энергии груза 
.
Если пренебречь силами трения, то в системе выполняется закон сохранения механической энергии
Учитывая связь линейной и угловой скоростей:
,
получаем: 
.
Отсюда: 
.
Численный расчет:
(м).
Ответ: h = 0,86 м.
6. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту 
, масса диска m.
Дано: m, α.
Определить: 
.
РЕШЕНИЕ
|
|
|
|
|
| Рис. 5 |
|
, сила реакции опоры 
и сила трения 
(рис.5), но только сила трения имеет отличный от нуля момент относительно оси вращения O. При отсутствии 
диск соскальзывал бы с наклонной плоскости, не вращаясь.
Основной закон динамики (для поступательного движения) в проекциях на ось X будет
(1)
Для вращательного движения диска
Учитывая, что 
получаем 
.
Для диска: 
,
поэтому: 
. (2)
Решая (1) и (2) совместно, получаем:
.
Ответ: 
.
7. Какую работу совершает человек, поднимая тело массой m на высоту h с ускорением 
?
РЕШЕНИЕ
Дано :m,h.g.
Определить: A.
|
|
|
|
| Рис. 6 |
В нашем случае 
, 
, 
(рис. 6).
По второму закону Ньютона (в проекциях на направлении ускорения)^
.
Таким образом,
и 
.
Ответ: 
.
8. Найти работу A, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m от 
до 
на пути 
. На всем пути действует сила трения 
.
Дано: 
, 
, 
, 
, 
.
Определить: A.
РЕШЕНИЕ
|
|
|
|
|
| Рис. 7 |
.
На тело действует две силы: сила тяги, совершающая положительную работу A, и сила трения, совершающая отрицательную работу 
, поэтому:
.
Отсюда: 
.
Ответ: 
.
9. Найти скорость 
вылета пули массой m из пружинного пистолета
при выстреле вверх, если жесткость пружины k, а сжатие 
. На какую высоту h поднимется пуля?
Дано:, m, k, x.
|
|
|
| Рис. 8 |
РЕШЕНИЕ
До выстрела энергия была сосредоточена в сжатой пружине (рис. 8)
Так как диссипативных взаимодействий нет, то по закону сохранения полной механической энергии в момент вылета пули из пистолета ее энергия складывается из потенциальной энергии гравитационного взаимодействия 
и кинетической энергии пули 
:
,
отсюда 
.
В высшей точке подъема 
, поэтому 
.
Таким образом, 
.
Ответ: 
, 
.
10. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули 
, масса шара 
, скорость пули 
. При каком наибольшем расстоянии 
от центра шара до точки подвеса шар поднимется до верхней точки окружности?
Дано: 
, 
, 
.
Определить: 
.
|
|
|
|
| Рис. 9 |
|
|
По закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия шара с пулей должна быть равна их потенциальной энергии в точке максимального подъема (рис. 9):
(1)
При неупругом соударении пули с шаром выполняется только закон сохранения импульса:
.
Отсюда:
. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем 
Ответ: 
.