Метод наименьших квадратов, используемый при оценке вектора коэффициентов полинома, минимизирует сумму квадратов остатков RSS (residual squares sum), которая равна:
RSS = (Y -  )T*(Y - ).
| (10) |
Учитывая (6) и (7)
| = Xk*Xk+*Y.
| (11) |
Отсюда:
| (Y - ) = (Ik - Xk*Xk+)Y = RkY,
| (12) |
где Ik - единичная матрица порядка k, а Rk = (Ik-Xk*Xk+) - оператор-проектор, для которого выполняется:
  .
| (13) |
Подставив (12) в (10), получим с учетом (13)
| RSSk = YTRkY. | (14) |
Функция RSSk монотонно убывает с ростом k. При делении RSSk на число степеней свободы, равное:
| γ = T- k-1, | (15) |
получим оценку дисперсии σ² случайной составляющей e или остаточную дисперсию. Минимум этой оценки будет достигнут при выполнении неравенства:
| RSSk+1/(T-k) > RSSk/(T-k-1). | (16) |
В этом случае для приближения тренда используется полином порядка k. Как следует из (15), k < T-1.
Определение степени полинома с использованием критерия Фишера
Если величина дисперсии случайной составляющей временного ряда σ² или ее оценка известна, то в качестве тренда можно использовать полином, для которого оценка дисперсии случайной составляющей временного ряда статистически незначимо отличается от σ². Критерием останова рекуррентного процесса в этом случае является выполнение неравенства:
(RSS/γ)/σ² >=  ,
| (17) |
где α - доверительная вероятность, а - критическое значение критерия Фишера, которое берется из таблицы (см. табл. "Значения F при P=0.05").
| n1 | ¥ | |||||||||
| n2 | ||||||||||
| 161,4 | 199,5 | 215,7 | 224,6 | 230,2 | 234,0 | 238,9 | 243,92 | 249,0 | 254,3 | |
| 18.51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | 19,50 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | 8,53 | |
| 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6.39 | 6,26 | 6.16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | 5,63 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | 4,36 | |
| 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4.39 | 4,28 | 4,15 | 4,00 | 3,84 | 3,67 | |
| 5,59 | 4.74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | 3,23 | |
| 5,32 | 4,46 | 4.07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3.28 | 3,12 | 2,93 | |
| 5.12 | 4.26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,23 | 3,07 | 2,90 | 2,71 | |
| 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3.33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | 2,54 | |
| 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,20 | 3,09 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | 2,40 | |
| 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3.26 | 3,11 | 3.00 | 2,85 | 2,69 | 2,50 | 2,30 | |
| 4,67 | 3,80 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,77 | 2,60 | 2,42 | 2,21 | |
| 4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,70 | 2,53 | 2,35 | 2,13 | |
| 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,90 | 2,79 | 2,64 | 2,48 | 2,29 | 2,07 | |
| 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2.85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | 2,01 | |
| 4,45 | 3,59 | 3,20 | 2,96 | 2,81 | 2,70 | 2,55 | 2,38 | 2,19 | 1,96 | |
| 4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2.51 | 2,34 | 2,15 | 1,92 | |
| 4,38 | 3,52 | 3,13 | 2,90 | 2,74 | 2,63 | 2,48 | 2,31 | 2,11 | 1,88 | |
| 4,35 | 3,49 | 3,10 | 2,87 | 2,71 | 2,60 | 2,45 | 2,28 | 2,08 | 1,84 | |
| 4,32 | 3,47 | 3,07 | 2.84 | 2,68 | 2,57 | 2,42 | 2,25 | 2,05 | 1,81 | |
| 4,30 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,40 | 2,23 | 2,03 | 1,78 | |
| 4,28 | 3,42 | 3,03 | 2,80 | 2,64 | 2,53 | 2,38 | 2,20 | 2,00 | 1,76 | |
| 4,26 | 3,40 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,18 | 1,98 | 1,73 | ||
| 4,24 | 3.38 | 2,99 | 2,76 | 2,60 | 2,49 | 2,34 | 2.16 | 1,96 | 1,71 | |
| 4,22 | 3,37 | 2,98 | 2,74 | 2,59 | 2,47 | 2,32 | 2,15 | 1,95 | 1,69 | |
| 4,21 | 3.35 | 2,96 | 2,73 | 2,57 | 2,46 | 2,30 | 2,13 | 1,93 | 1,67 | |
| 4,20 | 3,34 | 2,95 | 2,71 | 2,56 | 2,44 | 2,29 | 2,12 | 1,91 | 1,65 | |
| 4,18 | 3,33 | 2,93 | 2,70 | 2,54 | 2,43 | 2,28 | 2.10 | 1,90 | 1,64 | |
| 4,17 | 3,32 | 2,92 | 2,69 | 2,53 | 2,42 | 2.27 | 2,09 | 1,89 | 1,62 | |
| 4,08 | 3,23 | 2,84 | 2,61 | 2.45 | 2,34 | 2,18 | 2,00 | 1,79 | 1,52 | |
| 4,00 | 3,15 | 2,76 | 2,52 | 2,25 | 2,10 | 1,92 | 1,70 | 1,39 | ||
| 3.W. | 3,07 | 2,68 | 2,45 | 2,29 | 2,17 | 2,02 | 1,83 | 1,61 | 1,25 | |
| ¥ | 3,84 | 2,99 | 2,60 | 2.37 | 2.21 | 2,09 | 1.94 | 1,75 | 1,52 | 1,00 |
В качестве оценки σ² можно принять:
= 
(T-1).
Число степеней свободы для σ² принимается равным Т-1. Если неравенство (17) выполнилось для γ = T-k-1, то порядок полинома выбираем равным k-1.
Задание
3.1. Контрольные вопросы
- Цели анализа временных рядов.
- Составляющие наблюдаемого временного ряда.
- Модель временного ряда с полиномиальным трендом.
- Oценивание коэффициентов полиномиального тренда.
- Методы определения степени полинома, приближающего тренд.
Рекомендуемый порядок выполнения лабораторной работы
- Считайте данные из файла с реализацией в соответствии с вашим вариантом задания,
- Используя средства пакетов Mathcad или Mathlab, напишите рекуррентную процедуру выделение тренда
- Для выделенного тренда найдите RSS, RSS/ γ.
- Используя критерий минимума дисперсии шума, определите порядок полинома. Выделите тренд для этого порядка.
- Найдите случайную составляющую (шум), а также постройте графики полученных трендов.
Варианты
Ниже представлены номера реализаций для каждого варианта (см. Реализации):
- № 29;
- № 30;
- № 31;
- № 32;
- № 33;
- № 34;
- № 35;
- № 36;
- № 37;
- № 38;
Форма отчета
- Задание к работе.
- Краткое пояснение теоретических положений и основных формул.
- Рекуррентный алгоритм вычисления полиномиального тренда.
- Статистические критерии для определения порядка полиномиального тренда.
- Уравнения и графики вычисленных трендов.
- Анализ результатов и выводы.
-301.886063234612
37.1230956750094
-111.96354025896
36.2418560126812
154.811367555539
108.485514718923
-3.9570460575758
41.8954707654133
45.9613045080084
11.2303581700972
65.8892728918004
-48.9133509450521
38.8963473108198
51.2940322670362
-104.005737246266
-5.09019228826346
113.7181980903
-34.8283917473723
71.89904565365
35.8866629394458
90.3916472828903
-4.94506975932219
27.8675978090694
13.7209020290047
-80.6556578318799
63.1989968976526
-7.95964947088988
30.7261861359549
-7.59877803759327
195.450555095599
31.6490295642847
47.157928971969
28.4500369560442
-56.5789496232622
-52.8817113870483
-34.4778532169882
-249.037798306757
-24.7285403069487
141.851390093355
117.526380024224
89.6679759091203
-16.7228254826194
-48.6683917009382
-46.3262073801047
9.40088739301418
181.259708263067
-162.521320783979
-22.9643598178114
-33.8092386762485
102.463506335125
39.82630372479
-51.5889024456174
-116.121581469879
117.618457062003
137.711776457131
-69.4026915819314
29.9225189050782
-32.1873316761891
-66.8783103232271
137.537336556347
-100.917136983546
-181.636812570436
-22.2779249658212
1.85568215976703
-161.207660329266
-16.7305868892877
-38.2061352332716
-74.0015223227931
-51.9953777597296
-106.666369068432
-49.1778098325888
118.929002170377
-74.2902074823164
-48.2974660156277
-46.0557206456084
70.6553840959691
86.4934666194736
-32.3223065783675
63.3266936805321
-23.750736014791
-108.290407154563
-47.8841582408471
-111.613024295567
-171.025049251564
80.9227855854468
-31.8680140755557
-0.590119783727872
172.857892023773
-16.2046226763041
-37.5151012685082
-43.6127566743647
143.888576197991
23.6439387332051
-81.328091958585
-135.467755600768
-175.361986658397
212.239307683727
-188.427751620186
-2.84874976859727
-41.4647601680723
-87.7701584187915
-23.3033880485279
-134.334221939662
-45.2695533337322
-23.5239003830643
-7.04182547030226
-137.952338802046
-277.387532002985
-2.83940580704206
17.7876603409713
-30.3051041055566
100.032575792716
-46.3573762422716
-42.7434481101816
37.58582294386
23.3143320062986
-20.9722748230764
-203.167785659836
-94.6257473922483
-36.1783955818024
-122.124627245216
-174.563894574079
-60.4736476298103
-47.4332253353581
-214.77264018321
-221.380409898805
12.6342323847594
-163.962048523632
1.12428506624006
27.7788578872167
-24.655065371994
-211.629597653386
-42.711262001378
-128.132560569126
-11.746817267239
-127.403306382096
3.20480599176027
112.972371782564
-79.5308288496967
132.162989258396
-36.5064424026688
164.081619476519
32.5152525682148
-63.600203917383
-38.6329033971551
-180.801236458311
-139.596582228124