Цель работы
Анализ временных рядов находит широкое применение в различных областях науки и техники. В общем случае временной ряд часто содержит детерминированную и случайную составляющие. В так называемых моделях ошибок наблюдаемые временные ряды интерпретируются как сумма систематических составляющих или тренда и случайных составляющих или ошибки. Выделение тренда - одна из наиболее общих задач обработки временных рядов.
Целью данной лабораторной работы является освоение методики выделения тренда с использованием полиномов. Будем полагать, что подлежащий изучению тренд с течением времени гладко возрастает или убывает, но не повторяется регулярным образом.
Основные теоретические положения
Анализ временных рядов
Временным рядом называют последовательность наблюдений, упорядоченную во времени [2, 10]. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. Таковыми, например, являются метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. п. Все они изменяются во времени. На основании ограниченного количества информации о временном ряде конечной длины, мы хотим сделать выводы о вероятностном механизме, порождающим этот ряд, проанализировать его структуру.
В общем случае временной ряд имеет следующий вид:
yt = f(xt) + et, t = 1,2,...,
где yt - значения временного ряда;
f(xt) - детерминированная составляющая;
xt - значения детерминированных факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент времени t;
et - случайная составляющая, для которой М[et]= 0;
Т - длина ряда.
Отметим, что эти компоненты наблюдаемого ряда ненаблюдаемы, они являются теоретическими величинами.
В экономике роль детерминированной или систематической составляющей играет, например, результирующий показатель, представляющий собой объем производства, обусловленный общей тенденцией экономического роста, научно-техническим прогрессом и затратами экономических ресурсов. На этот результат кроме экономических факторов могут оказывать долговременное влияние некоторые природные факторы, поддающиеся предсказанию. Случайная же составляющая аккумулирует влияние множества не включенных в детерминированную составляющую факторов, каждый из которых в отдельности оказывает незначительное воздействие на результат.
Основная задача анализа временных рядов состоит в выделении на основе знания отрезка временного ряда {yt, t = 1,...,T} детерминированной и случайной составляющих, а также в оценке их характеристик. Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, можно решать задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.
Трендовые модели
Под трендом в узком смысле понимается детерминированная составляющая, зависящая только от времени. Тогда временной ряд представляется следующей теоретико-вероятностной схемой:
| уt = f(t) + et, t = 1,2,...T, | (1) |
где f(t) - тренд;
et - случайные составляющие.
Будем полагать, что тренд может быть представлен в виде линейной комбинации
f(t) = a0+  фi(t), (t=1,...,T), (i=1,k),
| (2) |
где фi(t) - известные функции времени, а случайные составляющие et некоррелированы и имеют нулевые математические ожидания М[et] = 0 и одинаковые дисперсии (D[et] = const = σ²).
Обозначив фi(t) через хti, представим наблюденный временной ряд в виде множественной регрессии, линейной относительно параметров:
yt = a0+  + et, (t=1,...,T), (i=1,k),
| (3) |
или, в матричной форме:
Y = Xka + e,
где
, 
.
Полиномиальный тренд
Часто понимают тренд как долговременное изменение, противопоставляя его циклическим изменениям, коротким по времени. Такой тренд можно достаточно хорошо представить отрезком ряда Тейлора; следовательно, во многих практических случаях он может быть приближен полиномом. Полиномиальный тренд есть в первую очередь средство описания. Он содержит в сжатой форме общие характеристики ряда. Для приближения тренда полином должен иметь достаточно низкую степень (
4). Во многих случаях коэффициентам полинома нельзя придать никакого реального смысла. Такой полином служит заменой гораздо более сложной (но неизвестной) функции времени и может быть использован для интерполяции.
В случае полиномиального тренда в выражении (2) в качестве функций фi(t) используются степени времени, то есть фi(t) = ti, (i=1,...,k). Исходная модель временного ряда имеет вид:
уt = а0 +  аiti + et, (t=1,...,T), (i=1,k)
| (4) |
т.е. в матрице Xk элементами столбцов являются значения времени в соответствующей степени:
| xti = ti, (t=1,...,T; i=0,...,k), | (5) |
где k - порядок полинома.
- Оценка коэффициентов полиномиального тренда.
Для полинома известного порядка k несмещенная оценка вектора коэффициентов 
может быть получена методом наименьших квадратов в виде:
| = (XkT * Xk)-1XkTY, M() = a.
| (6) |
В общем случае, вместо обобщенной обратной матрицы (XkT * Xk)-1XkT лучше использовать матрицу Xk+, псевдообратную к Xk [1], и вычислять оценку вектора коэффициентов тренда по формуле:
| = Xk+Y,
| (7) |
где k-порядок полинома.
- Оценка значений тренда может быть получена в виде:
 = Xk* .
| (8) |
- Случайная составляющая или шум определяется как разница между значениями исходного временного ряда и полученными оценками значений тренда:
| E = Y - .
| (9) |
Определение степени полиномиального тренда
Часто исследователь не знает заранее, какой порядок полинома следует использовать для вычисления тренда. Тогда возникает задача выбора подходящей степени полинома среди некоторого множества возможных степеней. При этом определенные преимущества имеет выбор полинома более низкого порядка. График его более гладкий, проще допускаемое толкование, более экономична запись функции. Однако, если наблюдаемый временной ряд плохо описывается полиномом низкой степени, приходится использовать полином более высокой степени. Недостатком выбора полинома слишком низкой степени является наличие смещения при оценивании тренда, а недостатком выбора слишком высокой степени-большая вариабельность при оценивании тренда. Будем использовать для приближения тренда полиномами порядка 1,2 и т.д рекуррентную процедуру, определяя момент остановки рекуррентного процесса с помощью различных статистических критериев. Алгоритм вычесления псевдообратной матрицы
Псевдообращение
Псевдообратной к матрице А называется матрица 
Удовлетворяющая следующим условиям, называемым условиями Мура-Пенроуза:
Для вычисления псевдообратной матрицы лучше всего воспользоваться сингулярным разложением исходной матрицы А, т.е. представлением ее в виде:
Где U и V унитарные матрицы соответственно правых и левых сингулярных векторов, а L- диагональная матрица сингулярных чисел. В этом случае матрица , псевдообратная к А, может быть получена в виде:
Для построения сингулярного разложения А можно воспользоваться функцией Mathcad’а svd в варианте, обеспечивающем вычисление и сингулярных чисел и сингулярных векторов.
Однако, в некоторых случаях, удобнее воспользоваться процедурой рекуррентного вычисления псевдообратной матрицы с использованием следующего алгоритма:
Введем следующие обозначения:
A- исходная матрица;
ai- i-тый столбец матрицы;
Ak- матрица, состоящая из первых k столбцов матрицы A;
Ak+- матрица, псевдообратная к Ak;
ai+- i-тая строка матрицы Ak+;
выберем первый столбец матрицы А (a1). Соответствующая ему первая строка псевдообратной матрицы может быть вычислена в виде:
Обозначим столбец a1 матрицей A1, а строку ai+ матрицей A1+.
Затем рекуррентно, начиная с k=1, выполним:
