Рассмотрим систему
Как следует из общей теории решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений, общее решение системы имеет вид
где 
– фундаментальная системы решений, а 
– произвольные постоянные.
Рассмотрим метод построения фундаментальной системы решений, который называют методом Эйлера.
Частные решения, образующие фундаментальную систему решений, будем искать в виде
. (7)
Постоянные 
(числа 
и 
не равны нулю одновременно) находят из следующих условий.
I. Число 
является корнем уравнения
. (8)
Уравнение (8) называется характеристическим уравнением системы (6). Чтобы составить характеристическое уравнение, нужно:
1) записать матрицу 
из коэффициентов при неизвестных 
правой части системы (6);
2) составить матрицу 
. Матрицу 
называют характеристической матрицей системы;
3) вычислить определитель характеристической матрицы
= 
и приравнять его к нулю 
.
Корни 
этого уравнения называют характеристическими корнями или характеристическими числами системы (6). Возможны три различных случая:
· корни характеристического уравнения действительные и различные;
· корни – действительные и равные;
· корни – комплексно-сопряженные.
В. Коэффициенты и в записи функций 
являются решением системы
(.9)
где – корень характеристического уравнения. Такая алгебраическая система однородных линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, но в задаче нахождения ФСР нужно взять одно ненулевое решение. При этом нужно ли составлять и решать систему (.9) для каждого из характеристических корней, зависит от вида этих корней.
а) Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то, подставляя поочередно в систему (9) каждый из корней 
и решая ее, находим числа 
. В результате можно записать два частных решения системы (6):
,
.
Эти решения и образуют фундаментальную систему решений. В этом случае общее решение системы (6) имеет вид
б) Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: 
, то в систему (9) составляют и решают только для одного из этих чисел, например, 
. В этом случае решение системы также будет комплексным: 
, а соответствующее ему частное решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид
.
Чтобы построить фундаментальную систему решений, нужно отделить действительные и мнимые части этих комплексных функций. Для этого следует:
1) записать функцию 
в виде 
;
2) подставить это в функции 
, 
и преобразовать:
,
;
3) отделить в этом решении действительные и мнимые части и записать два действительных линейно независимых частных решения системы дифференциальных уравнений, которые образуют фундаментальную систему решений:
и
,
Тогда общее решение системы (6) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид
в) Если корни характеристического уравнения действительные и равные: 
, то сразу находят общее решение системы (6), минуя непосредственное отыскание ФСР. Это решение отыскивают в виде
(10)
где 
– некоторые неизвестные числа.
Подставляя эти функции в одно из уравнений системы (6) и преобразовывая полученные выражения, получают равенство двух многочленов первой степени относительно переменной t. Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены этих многочленов, получают алгебраическую систему двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных 
, 
, 
. Эта система имеет бесконечное множество решений и в рассматриваемом случае находят её общее решение*). Подставляя в (10) найденные значения , , , зависящее от произвольных постоянных , получают общее решение системы дифференциальных уравнений.
Из вышесказанного следует, что если характеристическое уравнение линейной однородной системы дифференциальных уравнений (6) имеет действительные и различные корни или комплексно-сопряженные корни, то для отыскания общего решения находим фундаментальную систему решений. Если же корни действительные и равные, то общее решение можно найти, не отыскивая ФСР. Поэтому начинать решение системы дифференциальных уравнений следует с нахождения корней характеристического уравнения.
Рассмотрим примеры.
Пример 1 Решить методом Эйлера систему дифференциальных
уравнений 
Решение
Запишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы:
,
составим характеристическую матрицу
.
Тогда характеристическое уравнение имеет вид
.
Вычислим определитель
.
Тогда получим уравнение
,
корни которого 
, 
.
Получили два действительных и различных характеристических корня, поэтому будем искать фундаментальную систему решений в виде
; 
(смотри условие В,a).
Для отыскания чисел 
составим систему вида (4):
и для каждого из чисел , найдем соответствующие ненулевые решения этой системы.
При имеем
Þ 
Коэффициенты при неизвестных этой системы пропорциональны, поэтому она равносильна одному из уравнений этой системы, например
*).
Это уравнение имеет бесконечно много ненулевых решений. Перепишем его в виде 
. Положив, например, 
, получим 
. Тогда 
. Следовательно, первое решение фундаментальной системы, соответствующее корню , имеет вид
, 
.
При имеем
Þ 
Система равносильна одному уравнению 
, откуда 
. Положив , получим 
, значит, 
. Соответствующее корню решение фундаментальной системы имеет вид
, 
.
Используя полученную фундаментальную систему 
, запишем общее решение системы в виде
В нашем случае получим
Ответ: 
Пример 2 Решить методом Эйлера систему 
Решение. Характеристическая матрица системы имеет вид
.
Тогда характеристическое уравнение:
Þ 
Þ 
.
Решая это уравнение, получаем
.
Таким образом, характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни 
, 
(случай В,б), где 
).
Составим систему вида (4.9):
и найдем её ненулевое решение для одного из корней характеристического уравнения. Подставив в эту систему, например, 
, получим
Поскольку определитель этой системы равен нулю (число 
– корень характеристического уравнения), то одно из уравнений системы является следствием другого*). Поэтому система равносильна одному из её уравнений. Возьмем, например, второе уравнение и решим его:
, или 
.
Отсюда имеем 
, 
. Полагая здесь , получим 
.
Тогда соответствующее комплексное решение системы дифференциальных уравнений имеют вид
.
Чтобы построить фундаментальную систему решений, отделим действительные и мнимые части этих комплексных функций. Для этого вначале запишем
.
Подставим полученное выражение в функции , и преобразуем:
,
.
Отделив в этих функциях действительные и мнимые части, получим две пары функций, образующие фундаментальную систему решений заданной системы дифференциальных уравнений:
, 
,
, 
.
Значит, общее решение системы имеет вид
Ответ: 
Пример 3 Решить систему 
Решение. Находим корни характеристического уравнения:
Þ 
Þ 
Þ 
.
Так как корни равные, то будем искать сразу общее решение системы в виде
(à)
где – подлежащие определению числа. Чтобы их найти, используем тот факт, что функции 
являются решением заданной системы дифференциальных уравнений, и значит, удовлетворяют каждому из уравнений системы.
Подставим функции (à) в первое уравнение заданной системы. Для этого вначале найдем производную функции :
.
В результате подстановки получим:
Þ 
.
Преобразуем левую и правую части этого равенства:
,
,
.
Получили равенство двух многочленов первой степени относительно переменной t. Приравнивая коэффициенты при t, и свободные члены этих многочленов, получим:
или 
Получили алгебраическую систему двух линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными , , . Легко убедиться в том, что ранг основной матрицы этой системы равен двум, значит, система имеет множество решений. Запишем ее в виде
Полагая здесь 
, 
, где – произвольные постоянные, запишем общее решение этой системы
Подставляя найденные значения , , в (à), получим общее решение заданной системы дифференциальных уравнений:
Ответ: 
Метод исключения
Рассмотрим метод интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, называемый методом исключения. Этот метод состоит в сведении системы к одному или нескольким линейным дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом.
Проиллюстрируем этот метод на примерах.
Пример 5 Решить методом исключения систему дифференциальных уравнений 
Решение
Преобразуем заданную систему уравнений к дифференциальному уравнению от одной из неизвестных функций. Для этого удобно из первого уравнения системы выразить у через 
и 
:
. (à)
Продифференцируем обе части этого равенства:
.
Подставим эти выражения для 
и у во второе уравнение системы:
Þ 
. (àà)
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции 
. Чтобы найти общее решение этого уравнения, найдем фундаментальную систему решений. Характеристическое уравнение 
имеет корни:
.
Следовательно, общее решение уравнения (àà) имеет вид
.
Чтобы определить функцию 
, используем равенство (à). Найдем
и подставим в равенство (à). Получим
.
Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
Ответ: 
Пример.6 Решить систему линейных дифференциальных уравнений
Решение: Из второго уравнения выразим *):
, откуда 
.
Подставим эти выражения для х и 
в первое уравнение системы и преобразуем:
, 
, 
.
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции 
. Найдем общее решение этого уравнения.
Корни характеристического уравнения:
Þ 
.
Отсюда общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем функцию 
. Имеем
.
Тогда
=
.
Итак, общее решение данной системы имеет вид
Ответ: 
.
Пример 7 Решить методом исключения 
Решение
Из первого уравнения системы выразим у:
,
откуда 
. Подставляя эти выражения для у и у ¢ во второе уравнение системы, получим
,
.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть которого имеет специальный вид (таблица 3.3, II, стр.59).
Общее решение этого уравнения будем искать в виде
,
где 
– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения, а 
– какое-либо частное решение рассматриваемого уравнения. Найдем каждое из этих решений.
Соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет вид
.
Найдем его общее решение 
. Корни характеристического уравнения:
Þ 
.
Тогда 
.
Частное решение дифференциального уравнения подберем по виду его правой части
.
Очевидно, это – функция типа 
где 
– многочлен нулевой степени, а число 
не является корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение будем искать в виде
,
где А – неизвестный числовой коэффициент. Для его вычисления найдем производные от функции :
,
и подставим все эти выражения в уравнение вместо неизвестной х и ее производных:
, откуда 
, 
.
Значит, 
, а общее решение уравнения имеет вид
.
Теперь найдем вторую неизвестную функцию , используя соотношение
.
Для этого найдем производную функции :
.
Тогда
.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Ответ: 
.
*) Определитель называется определителем Вронского для системы функций
*) Доказано, что ранг такой системы, полученной в процессе решения рассматриваемой задачи, равен двум, поэтому её общее решение содержит две произвольные постоянные.
*) В подобных случаях рекомендуем выбирать наиболее простое из уравнений полученной системы, т.е. с меньшими коэффициентами.
*) В этом легко убедиться, умножив, например, первое уравнение на число.
*) Заметим, что можно было бы выразить через и из первого уравнения.