Цепи с постоянными магнитами
Основные вопросы
1. Основные законы магнитной цепи.
2. Аналогия и соответствие магнитных и электрических цепей.
3. Основные допущения при расчете магнитных цепей.
4. Расчет неразветвленных магнитных цепей.
5. Расчет разветвленных магнитных цепей.
6. Расчет магнитных цепей с постоянными магнитами.
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – § 24.1 – 24.6.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1978. – § 4.1 – 4.11.
ПРИМЕРЫ
Задача 1
В воздушном зазоре электромагнита (см. рисунок), сердечник которого выполнен из стали 2411, требуется обеспечить индукцию В d = 0,4 Тл. Сердечник имеет размеры: l 1 = 30 см; l 2 = 15 см; l 3 = 30 см; l d = 30 см; S 1 = S 3 = 4 см2; S 2 = S d = 6 см2.
Кривая намагничивания стали задана таблицей:
| В, Тл | 0,67 | 0,9 | 1,05 | 1,14 | 1,42 | 1,53 | |
| Н, А/м |
Определить ток в обмотке с числом витков W = 200, обеспечивающий требуемую индукцию в зазоре.
Решение
Данная задача, относящаяся к разряду «прямых задач», решается посредством расчета системы уравнений на основании законов Кирхгофа для магнитной цепи:
Ф1 + Ф2 – Ф3 = 0, (1)
H 1 l 1 – H 2 l 2 – H d l d =0, (2)
H 1 l 1 + H 3 l 3 = IW. (3)
1. В пренебрежении магнитными потоками рассеяния и выпучиванием потока в немагнитном зазоре
В 2 = В d = 0,4 Тл.
2. По кривой намагничивания (см. таблицу) для В 2 = 0,4 Тл Н 2 = 50 А/м.
3. Из уравнения (2) с учетом того, что
А/м,
следует
А/м.
4. По кривой намагничивания стали (см. таблицу) для Н 1 = 131 А/м В 1 = 0,8 Тл.
5. Магнитный поток в первом сердечнике:
Ф1 = В 1 S 1 = = 0,8×4×10–4 = 3,2×10–4 Вб.
6. Магнитный поток во втором сердечнике:
Ф2 = В 2 S 2 = 0,4×6×10–4 = 2,4×10–4 Вб.
7. Как следует из уравнения (1),
Ф3 = Ф1 + Ф2 = 3,2×10–4 + = 2,4×10–4 = 5,6×10–4 Вб.
8. Индукция магнитного потока в третьем сердечнике:
Тл.
9. По кривой намагничивания стали (см. таблицу) для В 3 = =1,4 Тл Н3 = 1000 А/м.
10. Из уравнения (3) следует
A.
Ответ: I = 1,7 A.
Задача 2
В магнитной цепи (рис. а) сердечник, выполненный из стали 2411 (см. задачу 1), имеет размеры: l 1 = l 2 = 0,52 м; l 3 = 0,178 м; l d = 0,002 м; S 1 = S 2= S 3 = S d = 6×10–3 м2; W 1 = W 2 = 500 витков; I 1 = 2 A; I 2 = 1 A.
Определить магнитные потоки Ф1, Ф2 и Ф3 в сердечниках магнитопровода.
Решение
Расчет магнитной цепи удобно проводить по схеме замещения, представленной на рис. б (направления МДС определены по правилу правоходового винта, положительные направления магнитных потоков выбраны произвольно).
I вариант расчета (графическое решение системы нелинейных уравнений, составленных для магнитной цепи по законам Кирхгофа).
По первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис. б):
Ф1 +Ф2 = Ф3. (1)
Для графического решения уравнения (1) необходимо иметь зависимости всех трех потоков в функции одной переменной. Этой, общей для всех магнитных потоков в данной цепи переменной, является магнитное напряжение между узлами 1 и 2. Таким образом, нелинейное уравнение (1) может быть графически разрешено, если его представить в виде:
Ф1(U М12) +Ф2(U М12) = Ф3(U М12). (2)
Зависимости Ф1(U М12), Ф2(U М12) и Ф3(U М12) могут быть построены на основании уравнений по второму закону Кирхгофа для схемы (рис. б):
U М12(Ф1) = I 1 W 1 – U М1 (Ф1); (3)
U М12(Ф2) = I 2 W 2 – U М2 (Ф2); (4)
U М12(Ф3) = U М3(Ф3) + U d (Ф3). (5)
Порядок построения вебер-амперных характеристик (3) – (5) по данным кривой намагничивания электротехнической стали 2411 (см. таблицу к задаче 1) приведен в табл. 1.
Зависимости Ф1(U М12), Ф2(U М12) и Ф3(U М12), построенные по результатам табл. 2, приведены на рис. в.
Посредством суммирования ординат зависимостей Ф1(U М12) и Ф2(U М12), соответствующих одному и тому же значению магнитного напряжения U М12, строится вебер-амперная характеристика (Ф1 + Ф2) = f (U М12).
Точка m 3 пересечения характеристики (Ф1 +Ф2) = f (U М12) с кривой Ф3(U М12), в которой удовлетворяется уравнение (2), определяет магнитное напряжение U М12 и магнитный поток Ф3 = 2,25 мВб. Ординаты точек m 1 и m 2 пересечения прямой (m – m 3) с кривыми Ф1(U М12) и Ф2(U М12) дают, соответственно, магнитные потоки Ф1 = 7,75 мВб и Ф2 = –5,5 мВб.
Ответ: Ф1 = 7,75 мВб; Ф2 = –5,5 мВб; Ф3 = 2,25 мВб.
Таблица 1
| В, Тл | Н, А/м | I сердечник | II сердечник | III сердечник | |||||||
| Ф1= В 1 S 1, мВб | U M1= H 1 l 1, А | U M12= I 1 W 1–– U M1, А | Ф2= В 2 S 2, мВб | U M2= H 2 l 2, A | U M12= I 2 W 2–– U M2, A | Ф3= В 3 S 3, мВб | U M3= H 3 l 3, А | U d=Ф3 Rd*, A | U M12= = U d+ U M3, A | ||
| 0,67 0,9 1,05 1,14 1,42 1,53 –,67 –0,9 –1,05 –1,14 –1,42 | –100 –150 –240 –400 –1200 | 4,02 5,4 6,3 6,83 8,5 9,16 –4,02 –5,4 –6,3 –6,83 –8,5 | –52 –78 –125 –208 –624 | –155 | 4,02 5,4 6,3 6,83 8,5 9,16 –4,02 –5,4 –6,3 –6,83 –8,5 | –52 –78 –125 –208 –624 | –124 –655 | 4,02 5,4 6,3 6,83 8,5 9,16 –4,02 –5,4 –6,3 –6,83 –8,5 | 17,8 26,7 42,6 71,1 –17,8 –26,7 –42,6 –71,1 –214 | –1065 –1430 –1670 –1810 –2250 | 1082,8 1456,7 1712,6 1881,1 –1082,8 –1456,7 –1712,6 –1881,1 –2464 |
* 
Гн–1.
II вариант расчета (метод последовательных приближений).
В качестве критерия сходимости итерационного процесса выбирается какая-либо из заданных МДС (например, F 1 = I 1 W 1 = = 1000 А). Выбирается произвольное значение (первое приближение) магнитной индукции в каком-либо из сердечников магнитопровода (например, 
= 0,4 Тл). Решается система уравнений (6)–(8), составленных по первому и второму законам Кирхгофа для рассматриваемой магнитной цепи,
Ф1+ Ф2 – Ф3 = 0; (6)
H 3 l 3 + H d l d + H 2 l 2 = I 2 W 2 ; (7)
H 1 l 1 + H 3 l 3 + H d l d = I 1 W 1; (8)
и по выбранному значению индукции определяется значение МДС, рассматриваемой в качестве критериальной (например, F 1). Расчет проводится в следующем порядке:
· по кривой намагничивания стали 2411 (см. таблицу к задаче 1) для выбранного значения = 0,4 Тл определяется соответствующее значение магнитной напряженности первого приближения в третьем сердечнике магнитной цепи: 
= 59,7 А/м;
· с учетом того, что 
= , определяется первое приближение магнитной напряженности в немагнитном зазоре:
А/м;
· определяется магнитный поток первого приближения в третьей ветви магнитной цепи: 
= 0,4×6×10–3 = 2,4 мВб;
· из уравнения (7) находится магнитная напряженность 
первого приближения во втором сердечнике магнитопровода:
= –283,9А/м;
· по кривой намагничивания стали 2411 для найденного значения определяется величина индукции первого приближения во втором сердечнике магнитопровода: 
= – 1,0735 Тл;
· рассчитывается величина магнитного потока первого приближения во втором сердечнике: 
= –1,0735×6×10–3 = = – 6,44 мВб;
· из уравнения (6) определяется магнитный поток первого приближения в первом сердечнике: 
= 2,4 – (– 6,44) = = 8,84 мВб;
· находится значение магнитной индукции первого приближения в первом сердечнике: 
Тл;
· соответственно найденному значению индукции 
по кривой намагничивания (см таблицу в задаче 1) определяется первое приближение магнитной напряженности в первом сердечнике: 
= 1697 А/м;
· из уравнения (8) определяется первое приближение критериальной величины:
=
= 1697×0,52 + 59,7×0,178 + 3,185×105 ×0,002 = 1529 А.
Рассчитанное значение критериальной величины сравнивается с заданным значением этой функции (I 1 W 1 = 1000 A) и при несовпадении результатов повторяется расчет системы уравнений (6)–(8) при новом значении (второе приближение) индукции (например, 
= 0,3 Тл). Полученное значение второго приближения критериальной величины (например, 
) вновь сравнивается с заданным значением. При несовпадении величин расчет повторяется до тех пор, пока значение критериальной величины очередного приближения не совпадет с требуемой точностью с ее заданным значением. Данный метод наиболее эффективен при использовании вычислительной техники. Однако если применить метод последовательного приближения в сочетании с графическим методом, то по результатам трех приближений можно определить истинное значение индукции в третьем сердечнике и вслед за этим по вышеприведенному алгоритму расчета системы уравнений (6)–(8) найти истинные значения всех магнитных потоков в цепи. Для этого достаточно по результатам трех приближений (см. табл. 2) построить характеристику I 1 W 1 = f (B 1), представленную на рис. г, и по ней определить истинное значение индукции В 1 для заданного значения МДС I 1 W 1.
Таблица 2
| В 3, Тл | Н 3, А/м | Н d= В 3/m0, А/м | Ф3, мВб | Н 2, А/м | В 2, Тл | Ф2, мВб | Ф1, мВб | В 1, Тл | Н 1, А/м | I 1 W 1, А |
| 0,4 0,3 0,35 | 59,7 52,2 | 3,185×105 2,389×105 2,786×105 | 2,4 1,8, 2,1 | –283,9 28,8 –126,5 | –1,074 0,193 –0,792 | –6,44 1,15 –4,75 | 8,84 0,65 6,85 | 1,473 1,083 1,142 | 776,8 |
Из рис. г следует, что для заданной величины МДС I 1 W 1=1000 A значение магнитной индукции в третьем сердечнике магнитопровода В 3 = 0,367 Тл. Решение системы уравнений (6)–(8) для найденного значения В 3 дает величины магнитных потоков в сердечниках магнитопровода: Ф1 = 7,883 мВб; Ф2 = –5,683 мВб; Ф3 = 2,2 мВб.
Задача 3
На рис. а представлена магнитная система электроизмерительного прибора, включающая участок 1 из магнитотвердого материала марки ЮНДК18, полюсные наконечники 2 и якорь 3 из магнитомягкого материала. Постоянный магнит намагничивается при вынутом якоре.
Пренебрегая потоками рассеяния, магнитными сопротивлениями наконечников и якоря, определить индукцию магнитного поля в воздушном зазоре магнитной системы.
Характеристика размагничивания сплава ЮНДК18 представлена на рис. б. Коэффициент возврата КВ =7,4×10–6 Гн/м. Геометрические размеры магнитной системы: а =10 мм; b =5 мм; l = 20 мм; c = 8 мм; d = 1 мм. При вынутом якоре предполагается, что длина эквивалентного немагнитного зазора (расстояние между полюсными наконечниками) l d = 8 мм, а его поперечное сечение 
= 35 мм2.
Решение
1. Определение рабочей точки на кривой размагничивания постоянного магнита, стабилизированного при вынутом якоре (рис. в).
· Нагрузочная характеристика магнита 
при отсутствии якоря (зависимость J).
Уравнение для нагрузочной характеристики в режиме стабилизации (режим максимального размагничивания) вытекает из закона полного тока, записанного для магнитной цепи при вынутом якоре,
(1)
Из (1) при допущении, что ФМ = Фd, следует
= 
кА/м.
· Пересечение нагрузочной характеристики Н М (B M) с кривой размагничивания дает рабочую точку m стабилизированного магнита без якоря (рис. в).
2. Определение рабочего режима магнитной системы с якорем (рис. в).
· Нагрузочная характеристика 
магнита (зависимость V) при наличии якоря. Уравнение для нагрузочной характеристики в режиме минимального зазора вытекает из закона полного тока, записанного для магнитной цепи при введенном якоре
H M l M + H d l d = 0. (2)
Из (2), в предположении отсутствия потоков рассеяния, следует
= 
кА/м.
· Пересечение рабочей нагрузочной характеристики Н М (B M) с прямой возврата (зависимость x), построенной из точки стабилизации m под углом к оси абсцисс,
,
дает рабочую точку режима n (рис. в). В результате, индукция магнитного поля в сердечнике (1) постоянного магнита (см. рис. а) В М = 0,3 Тл, а магнитный поток, создаваемый магнитом, ФМ = В М ab = 0,3×50×10–6 =1,5×10–4 Вб.
· Индукция магнитного поля в зазоре магнитной системы:
Тл.
Ответ: В d = 0,375 Тл.