IV. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

IV. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные вопросы

1. Нелинейный элемент (НЭ), нелинейная цепь.

2. Вольт-амперная характеристика (ВАХ).

3. Статическое и дифференциальное сопротивления НЭ.

4. Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока:

а) при последовательном соединении НЭ;

б) при параллельном соединении НЭ;

в) при смешанном (последовательно-параллельном) соединении НЭ.

5. Графоаналитический и аналитический методы расчета нелинейных цепей постоянного тока:

а) применение метода эквивалентного генератора к расчету сложной нелинейной цепи;

б) приближенный аналитический расчет с использованием эквивалентных линейных схем замещения нелинейных элементов;

в) приближенный аналитический расчет с использованием аналитической аппроксимации ВАХ НЭ.

6. Применим ли метод наложения к расчету нелинейных цепей?

Литература

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – § 22.6, 23.1.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1978, – § 4.1 – 4.11.

ПРИМЕРЫ

Задача 1

В цепи (рис. а) дано: Е = 5 В; R ₁ = 0,5 Ом.

ВАХ НЭ задана таблицей:

Uн, В				4,5
I н, А		1,5

Определить I, U ₁, U _н.

Решение

Решение задачи можно осуществлять двумя способами.

Способ А основан на графическом расчете (рис. б) нелинейного уравнения (1), составленного по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи (см. рис. а),

E = U ₁(I)+ U _н(I). (1)

· Строится зависимость U _н(I) = U _н(I _н) по данным таблицы с учетом того, что I = I _н.

· Строится линейная характеристика U ₁(I) = IR ₁ = 0,5 I.

· Строится характеристика U ₁(I)+ U _н(I) = f (I) (посредством суммирования абсцисс (напряжений) при одних и тех же значениях ординат (токов)).

· Строится вольт-амперная характеристика E (I) = 5 В.

· Тождество (1) удовлетворяется в точке пересечения ВАХ E (I) и ВАХ U ₁(I)+ U _н(I) = f (I). Проекция этой точки на ось ординат дает значение тока в цепи I = 2,7 А. Абсциссы точек пересечения характеристики I = 2,7 А = const (прямая, параллельная оси абсцисс) с вольт-амперными характеристиками U ₁(I) и U _н(I) дают значения напряжений на отдельных элементах цепи: U ₁ =1,3 В; U _н = 3,7 В.

Ответ: I = 2,7 А; U ₁ =1,3 В; U _н = 3,7 В.

Способ Б основан на графическом расчете (рис. в) нелинейного уравнения (2), вытекающего из уравнения (1), составленного по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи (см. рис. а),

E – U ₁(I) = U _н(I). (2)

· Строится вольт-амперная характеристика E – U ₁(I)= 5 – 0,5 I (см. рис. в).

· По данным таблицы (с учетом того, что I _н = I) строится вольт-амперная характеристика U _н(I).

· Точка пересечения вольт-амперных характеристик E – U ₁(I) и U _н(I), в которой удовлетворяется тождество (2), определяет величину тока в цепи I = 2,7 А.

· Проекция точки пересечения характеристик на ось абсцисс определяет напряжение на нелинейном элементе U _н = 3,7 В.

· Напряжение на линейном элементе определяется соотношением E – U _н = 1,3 В.

Задача 2

В схеме (рис. а) известно:

U _вх = 6 В; R = 1,5 Ом; R ₁ =5 Ом.

ВАХ НЭ задана таблицей:

Uн, В				4,5
I н, А		1,5		2,5

 

Определить I, I ₁, I ₂, U ₁, U ₂.

Решение

Расчет цепи базируется на графическом решении уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа,

I (U ₂) = I ₁(U ₂) + I ₂(U ₂); (1)

U _вх = U ₁(I) + U ₂(I), (2)

в которых ВАХ линейных резистивных элементов определяются соотношениями:

U ₁(I) = RI = 1,5 I;(3)

I ₁(U ₂) = . (4)

Порядок графического решения (рис. б) системы уравнений (1) и (2).

1. По данным таблицы строится характеристика I ₂(U ₂).

2. С использованием соотношения (4) строится вольт-амперная характеристика I ₁(U ₂).

3. В соответствии с уравнением (1) строится характеристика I (U ₂) (тем самым две параллельные ветви заменяются одной эквивалентной ветвью).

4. По уравнению (2) строится входная вольт-амперная характеристика рассматриваемой цепи U _вх(I) = U ₁(I) + U ₂(I) (при этом последовательно соединенные линейный элемент R с характеристикой U ₁(I) и эквивалентная ветвь с характеристикой U ₂(I) заменяются одним эквивалентным нелинейным элементом).

5. Строится ВАХ источника напряжения U _вх(I) = 6 В (прямая параллельная оси ординат).

6. Точка пересечения входной ВАХ цепи и ВАХ источника напряжения (в которой удовлетворяется уравнение (2) по второму закону Кирхгофа) определяет величину входного тока цепи I = 2,47 А.

7. В свою очередь, характеристика I (U ₂) позволяет определить по величине входного тока напряжение на зажимах параллельных ветвей U ₂ = 2,3 B.

8. Найденное значение напряжения U ₂ позволяет определить по вольт-амперным характеристикам I ₁(U ₂) и I ₂(U ₂) токи в параллельных ветвях I ₁= 0,46 А; I ₂ = 2,01 А.

9. Напряжение U ₁ определяется по второму закону Кирхгофа:

U ₁ = U _вх – U ₂ = 6 – 2,3 = 3,7 В.

Ответ: U ₁ = 3,7 В; U ₂ = 2,3 В; I = 2,47 А; I ₁= 0,46 А; I ₂= 2,01 А.

Задача 3

В схеме (рис. а) известно: Е = 12 В; R ₂ = 4 Ом; R ₃ = 6 Ом;

R ₄ = 12 Ом; R ₅ = 2 Ом; ВАХ НЭ задана таблицей:

Uн, В
I н, А				2,5

Определить I ₁, I ₅.

Решение

Для расчета тока I₁ целесообразно использовать метод эквивалентного генератора. Для этого всю линейную часть цепи относительно нелинейной ветви с искомым током необходимо заменить эквивалентным генератором с ЭДС Е _г = U_xx и внутренним сопротивлением R _г. В результате, исходная цепь принимает вид, представленный на рис. б. Графический расчет одноконтурной нелинейной цепи (рис. б) позволяет определить величину напряжения U_н и тока I₁ в нелинейном элементе. Токи внутри оставшейся линейной части схемы (в частности, ток I ₅) могут быть найдены аналитически с помощью законов Кирхгофа.

 

1. Определение параметров эквивалентного генератора.

· Расчет ЭДС эквивалентного генератора (рис. в):

A;

A;

B;

B.

· Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (рис. г):

Ом.

· Определение величины искомого тока в ветви с НЭ и напряжения на его зажимах (см. рис. б и д). Рабочая точка режима (в которой для цепи (см. рис. б) удовлетворяется второй закон Кирхгофа) определяется на пересечении вольт-амперных характеристик U _н(I ₁), построенных по значениям таблицы, и (E _г- I ₁ R _г) = = 8,8 - 2,4 I ₁. При этом U _н = 5,6 В; I ₁ = 1,35 А.

· Определение тока I ₅ (рис. а). Из первого закона Кирхгофа вытекает

I ₅ = I ₁ – I ₂.

В свою очередь, из второго закона Кирхгофа следует:

U ₂ = I ₂ R ₂ =Е – U _н =

= 12 – 5,6 = 6,4 В.

Отсюда, I ₂ = U ₂/ R ₂ = 1,6 А. В результате, I ₅ = I ₁ – I ₂=

= 1,35 – 1,6 = – 0,25 А.

Ответ: I ₁ = 1,35 А;

I ₅ = – 0,25 А.

Задача 4

В цепи (см. рисунок) известно: Е = 80 В; R = 10 кОм; ВАХ НЭ с односторонней проводимостью аппроксимирована соотношением

I _н= aU _н + bU _н², в котором

a = 0,3 мА/В; b = 0.04 мА/В².

Определить I _н , U _н.

Решение

На основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи

E = IR + U _н. (1)

С учетом того, что

I = I _н= aU _н + bU _н², (2)

выражение (1) с помощью соотношения (2) может быть разрешено относительно напряжения на НЭ:

E = IR + U _н = (aU _н + bU _н²) R + U _н. (3)

Из (3) следует

. (4)

Корни квадратного уравнения (4):

В,

т.е. U _н′ = 10 В, U _н″ = –20 В.

Решение U _н″ = –20 В невозможно из физических соображений, так как НЭ в исследуемой цепи обладает односторонней проводимостью (для U _н< 0 ток I = 0). Поэтому U _н = 10 В.

Ток в цепи может быть найден из аппроксимирующего выражения (2) I = I _н= aU _н + bU _н² = 0,3×10 + 0,04×10² = 7 A.

Ответ: U _н = 10 В; I = 7 A.

Задача 5

В цепи, представленной на рис а, известно: Е = 450 В; R ₀ = 1000 Ом; ВАХ НЭ1 и НЭ2 приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

U н1, В
I н1, мА

Таблица 2

U н2, В
I н2, мА

Определить токи во всех ветвях цепи.

Решение

Расчет данной цепи целесообразно проводить аналитическим методом с использованием замены нелинейных элементов эквивалентными линейными схемами (графический метод здесь принципиально неприемлем, поскольку цепь не является последовательно-параллельной).

1. Представление нелинейного элемента НЭ1 эквивалентной схемой замещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ I _н1(U _н1) линейной характеристикой (рис. б).

В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид: U _н1 = E ₀₁ + I _н1 R_{d 1}, где

Е ₀₁ = –150 В; Ом.

В соответствии с уравнением аппроксимирующей функции схема замещения НЭ1 (для положительного значения Е ₀₁) принимает вид, представленный на рис. в.

2. Замена НЭ2 линейной схемой замещения на основе аппроксимации нелинейной ВАХ I _н2(U _н2) линейной характеристикой (рис. г). В интервале линеаризации нелинейной характеристики уравнение аппроксимирующей функции имеет вид:

U _н2 = E ₀₂ + I _н2 R_{d 2},

где

E ₀₂ = 100 В; Ом.

Аппроксимирующей функции соответствует схема замещения НЭ2, представленная на рис. д.

3. Эквивалентная линейная схема замещения исходной цепи (рис. е) и ее параметры: Е = 450 В; Е ₀₁ = 150 В; E ₀₂ = 100 В;

R_{d 1} = 1250 Ом; R_{d 2} = 1100 Ом; R ₀ = 1000 Ом.

4. Расчет линейной цепи (рис. е) рационально осуществлять по методу узловых потенциалов.

Пусть j _d = 0. Тогда j _с = Е = 450 В (с учетом того, что ветвь c–d идеальная).

Уравнения для потенциалов узлов a и b:

или в цифровой форме

Из решения системы уравнений следует: = 276 В;

= 175 В.

Токи в ветвях эквивалентной линейной схемы замещения могут быть найдены с помощью обобщенного закона Ома:

А;

А;

А;

А;

А;

I = I ₁+ I ₂ = 0,259 + 0,159 = 0,418 А.

5. Проверка расчета. Найденные значения токов в нелинейных элементах должны находиться в пределах линеаризированных участков ВАХ НЭ (в противном случае необходимо повторить расчет с использованием новой линеаризации исходных ВАХ в районе найденных значений токов).

Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ1 по току: 0,175 £ I ₁; I ₄ £ 0,275.

Найденные значения токов I ₁ = 0,259 А; I ₄ = 0,26 А.

Границы линеаризированного участка ВАХ НЭ2 по току 0,15 £ I ₂; I ₃ £ 0,3.

Найденные значения токов I ₂ = 0,159 А; I ₃ = 0,158 А.

Поскольку значения рассчитанных токов во всех нелинейных элементах рассматриваемой цепи находятся в пределах линеаризации исходных ВАХ, расчет выполнен верно.

Ответ: I = 0,418 А; I ₁ =0,259 А; I ₂ =0,159 А; I ₃ = 0,158 А;

I ₄ = 0,26 А; I ₀ = 0,101 А.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6

В цепи (см. рисунок) U _вх = 150 В; R ₁ = 100 Ом; R ₂ = 400 Ом; ВАХ НЭ задана таблицей.

Uн, В
Iн, А		0,18	0,3	0,5	0,6

Определить мощность в нелинейном элементе.

Ответ: P_н = 37,5 Вт.

 

Задача 7

В схеме (см. ри­сунок) R ₁ = R ₂ = 2400 Ом; U_н = 280 I_н ^0,2.

Определить величину входного напряжения, при котором мостовая схема будет уравновешена.

Ответ: U _вх = 328 В.

Задача 8

 

 

В цепи (см. рисунок)

Е ₁ = 6,5 В;

Е ₃ = 5,4 В;

R ₃ = 2,5 Ом;

ВАХ НЭ заданы таблицей:

 

Uн, В		0,5
I1, А		0,2	0,4	0,68	0,86	0,96	1,0	1,0
I2, А		1,12	1,14	1,81	2,14	2,44	2,72	–

Определить токи в цепи двумя способами:

а) графическим методом;

б) посредством замены НЭ эквивалентными линейными схемами замещения.

Ответ: I ₁ =0,94 А; I ₂ =2,04 А; I ₃ = 1,1 А.