Лекция №12
ГЛАВА V. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Понятие функции. Способы задания функции. Обратная функция
I. Определение. Пусть даны два непустых множества D и E.
| x |
| D |
| f |
| y |
| E |
def. Если каждому элементу 
по определенному правилу (закону) f ставится в соответствие единственный элемент 
, то говорят, что на множестве D задана функция 
Если D и E – числовые множества 
то 
числовая функция.
Принята следующая терминология:
x – независимая переменная или аргумент;
y – зависимая переменная;
D – область определения функции;
Е – множество значений функции.
Если каждому элементу соответствует не одно, а несколько значений , то получим многозначную функцию (не рассматриваем).
Под функцией будем понимать однозначную числовую функцию.
При конкретном значении аргумента 
получим частное значение функции 
или 
.
II. Способы задания функции
- Аналитический. Явное и неявное задание функции
Функция задается аналитическим выражением, т.е. формулой.
Пример 1.1. а) 
б) 
Нельзя отождествлять функцию и формулу: с помощью одной формулы можно задать различные функции (указывая различные области определения), и наоборот, одна функция может быть задана несколькими формулами.
явное задание функции.
Пример1.2. 
неявное задание функции.
Пример 1.3. а) 
б) 
(здесь можно перейти к явному).
Преимущества: удобно изучать свойства. Недостатки: малая наглядность.
- Табличный
В таблице указывается в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции.
| x | x1 | x2 | … | xn |
| y | y1 | y2 | … | yn |
Пример1.4. Таблицы тригонометрических функций.
Преимущества: Без вычислений находятся соответствующие значения функции.
|
|
Недостатки: не можем получить значений y, неуказанных в таблице.
- Графический
Функция представляется графиком.
Пример1.5. Графики, полученные с помощью самопишущих приборов, например, электрокардиограмма (кривая изменения электрических импульсов сердечной мышцы, вычерчиваемая электрокардиографом); барограммы (кривые зависимости между давлением и временем в метеорологии).
Преимущества: наглядность.
Недостатки: неточность, неудобен при применении математического аппарата.
- Программный
Функция задается с помощью указания программы на одном из машинных языков.
III. Обратная функция
Функция 
является отображением 
.
Рассмотрим взаимнооднозначное отображение (взаимно однозначную функцию).
взаимно однозначная функция. 
| x |
| y |
ед. 
и обратно, 
ед. 
).
Пример 1.6.
а) 
- взаимно однозначная функция
(отображение)
| x |
| y |
б) 
не является взаимно однозначной.
Пусть () – взаимно однозначное отображение. Значит, 
ставится в соответствие ед. 
. Тогда говорят, что на множестве Е определена функция, обратная функции , которая обозначается 
Теорема. Если монотонная функция (возрастает или убывает), то существует обратная функция 
. При этом, если f – возрастающая, то f-1 – возрастающая; если f – убывающая, то и f--1 – убывающая.
Методика построения графика обратной функции
1) монотонная на D(f).
2) Решаем относительно x, т.е. находим (по существу и выражают одну и ту же зависимость, графики совпадают).
3) Переобозначаем переменные, т.е. 
- обратная функция.
|
|
| x |
| y |
| 0 |
| 1 |
| 1 |
| -1 |
| -1 |
|
|
симметричен графику относительно биссектрисы первого координатного угла.
Пример1.7. 
возраcтает на D=R;
обратная функция.
IV. Основные элементарные функции. Самостоятельно. Графики функций:
1) постоянная y=c;
2) степенная 
а) 
б) 
в) 
г) 
3) показательная 
. а) 
б) 
4) логарифмические: 
5) тригонометрические: 
6) обратные тригонометрические функции: 
|
| ||||||||||||||
|
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |
