Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции материальной точки и механической системы. Теорема Штейнера

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси^[1]:

где:

m_i — масса i -й точки,

r_i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями^[1]:

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

33. Энтропия. Принцип возрастания энтропии. Выражение энтропии системы через термодинамическую вероятность состояния (формула Больцмана). Энтропия – это ф-ия состояния системы. Приведенная теплота: dQ/T, где dQ- теплота получаемая телом в изотермическом процессе, Т- температура теплоотдающего тела, если система обратима, переходит из состояния А в В, то интеграл от приведенной теплоты не зависит от пути перехода из одного состояния в другое: Для кругового обратимого процесса S_В=S_A сл-но, , dQ/T-полный дифференциал некоторой ф-ии S, которая определяется т-ко состоянием системы и не зависит от пути, которым система пришла в это состояние, сл-но, S-это ф-ия состояния. dQ/T=dS. Термен энтропия введен Клаузисом как мера способности теплоты превращаться в другие меры энергии, энтропия обладает свойством аддитивности: S системы =сумме составляющих систему.

Энтропия идеального газа для изохоры: V=const, ΔS=C_v *ln(T₂/T₁).

Для изобары: P=const, ΔS=C_v *ln(T₂/T₁)+ R*ln(V₂/V₁).

Для изотермы: T=const, ΔS=R*ln(V₂/V₁).

Больцман доказал (1872), что между энтропией системы и термодинамической вероятностью её состояния существует связь, которая называется формулой Больцмана: S=k*lnP, где k – постоянная Больцмана.

Связь между термодинамической вероятностью состояния системы и ее энтропией была установлена в 1875 г. двумя знаменитыми учеными – Д. Гиббсом и Л. Больцманом. Эта связь выражается формулой Больцмана, которая имеет вид:

где, R – универсальная газовая постоянная, N_A – число Авогадро.

Для изолированной замкнутой системы изменение (приращение) энтропии положительно (необратимый процесс) либо равно нулю (обратимый процесс) для произвольного термодинамического процесса.

Для циклического процесса преобразования теплоты в работу (несамопроизвольного) SdS_i = 0 (обратимые процессы) и SdS > 0 (необратимые процессы), следовательно, в изолированной системе энтропия возрастает.

Это утверждение называется принципом возрастания энтропии.