Момент инерции материальной точки и механической системы. Теорема Штейнера
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси[1]:
где:
mi — масса i -й точки,
ri — расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
где:
dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса — Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями[1]:
где m — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
33. Энтропия. Принцип возрастания энтропии. Выражение энтропии системы через термодинамическую вероятность состояния (формула Больцмана). Энтропия – это ф-ия состояния системы. Приведенная теплота: dQ/T, где dQ- теплота получаемая телом в изотермическом процессе, Т- температура теплоотдающего тела, если система обратима, переходит из состояния А в В, то интеграл от приведенной теплоты не зависит от пути перехода из одного состояния в другое: Для кругового обратимого процесса SВ=SA сл-но,
, dQ/T-полный дифференциал некоторой ф-ии S, которая определяется т-ко состоянием системы и не зависит от пути, которым система пришла в это состояние, сл-но, S-это ф-ия состояния. dQ/T=dS. Термен энтропия введен Клаузисом как мера способности теплоты превращаться в другие меры энергии, энтропия обладает свойством аддитивности: S системы =сумме составляющих систему.
|
Энтропия идеального газа для изохоры: V=const, ΔS=Cv *ln(T2/T1).
Для изобары: P=const, ΔS=Cv *ln(T2/T1)+ R*ln(V2/V1).
Для изотермы: T=const, ΔS=R*ln(V2/V1).
Больцман доказал (1872), что между энтропией системы и термодинамической вероятностью её состояния существует связь, которая называется формулой Больцмана: S=k*lnP, где k – постоянная Больцмана.
Связь между термодинамической вероятностью состояния системы и ее энтропией была установлена в 1875 г. двумя знаменитыми учеными – Д. Гиббсом и Л. Больцманом. Эта связь выражается формулой Больцмана, которая имеет вид:
где, R – универсальная газовая постоянная, NA – число Авогадро.
Для изолированной замкнутой системы изменение (приращение) энтропии положительно (необратимый процесс) либо равно нулю (обратимый процесс) для произвольного термодинамического процесса.
Для циклического процесса преобразования теплоты в работу (несамопроизвольного) SdSi = 0 (обратимые процессы) и SdS > 0 (необратимые процессы), следовательно, в изолированной системе энтропия возрастает.
Это утверждение называется принципом возрастания энтропии.
|