VIII. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. С использованием ЗАМЕНЫ

Задача 5

В цепи (рис. а) е (t) = E_m sinw t, где E_m = 2000 В; w = 10⁵ с^–1. Линейное сопротивление r = 1000 Ом. Кулонвольтная характеристика нелинейного конденсатора представлена на рис. б, где q ₀ = 10^–5 К.

Рассчитать и построить q (t), u_C (t), i (t).

Ответ: В интервале времени (0 £ t £ T/ 4) u_C = 0, i (t) = 2sinw t (A), q (t) = – 2×10^–5cosw t + 10^–5 (К).

В интервале времени (T /4 £ t £ T/ 2)

u_C = 2000sinw t, i (t) = 0, q (t) = 10^–5 (К).

Задача 6

Синусоидальное напряжение u (t) = 100sinw t (B)приложено к нелинейному резистивному сопротивлению (см. рисунок), вольт-амперная характеристика которого может быть аппроксимирована уравнением i = 0,3 u + 0,04 u ², в котором [ u ] = B, [ i ] = A.

Рассчитать и построить i (t).

Ответ:

i (t) = 200 + 30sinw t – 200cos2w t (A).

VIII. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

С использованием ЗАМЕНЫ

РЕАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

УСЛОВНО-НЕЛИНЕЙНЫМИ

(расчет с использованием действующих значений

Эквивалентных синусоид)

Основные вопросы

1. Критерии замены несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусоидами в цепях с нелинейными элементами.

2. Порядок расчета нелинейных цепей с условно-нелиней­ными элементами.

3. Вольт-амперные характеристики катушки со стальным сердечником и конденсатора с сегнетодиэлектриком.

4. Потери в стали и намагничивающая мощность.

5. Векторные диаграммы и схемы замещения нелинейной индуктивности и нелинейной емкости.

6. Феррорезонанс.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – § 25.8 – 25.13.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1978. – § 15.4 –15.7, 15.22, 15.48, 15.49, 15.61, 15.64.

3. Нейман Л.Р., Нейман К.С. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1981. – т. 2. – гл.III.

ПРИМЕРЫ

Задача 1

Напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником U = 175 В; частота источника напряжения f = 50 Гц; число витков катушки W = 600 В; резистивное сопротивление обмотки r = 6 Ом; реактивное сопротивление рассеяния x_s = 6,8 Ом. Сердечник набран из стали 1311, магнитные свойства которой приведены в первых четырех столбцах таблицы. Сечение шихтованного стального сердечника S = 9 см²; коэффициент заполнения стали k _ст = 0,95. Средняя длина магнитного пути в сердечнике l = 50 см.

Полагая нелинейную индуктивность условно-нелинейным элементом, определить действующее значение тока в обмотке, а также параметры g _п и b _ф схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. а).

Решение

Решение задачи осуществляется подбором величин либо графически посредством построения зависимости U ₀ = f (U _вхрасч).

1. Произвольно выбирается значение первого приближения < U _вх.

2. Из соотношения U ₀ = 4,44 fWB _m S _ст, где поперечное сечение стали магнитопровода S _ст = k _ст S = 0,95×9×10^–4 = 8,55×10^–4 м², определяется первое приближение амплитуды магнитной индукции в сердечнике магнитопровода

Тл.

3. По таблице для найденного значения амплитуды магнитной индукции определяются соответствующие значения удельных потерь в стали , амплитуды магнитной напряженности и поправочный коэффициент (для оценки реального коэффициента амплитуды ).

4. Определение тока потерь первого приближения:

(А), где G _cт – вес стали в магнитопроводе: G _cт = g_Fe V = g_Fe S _ст l = 7,8×10³×8,55×10^–4×50×10^–2 = = 3,34 кг.

5. Определение тока намагничивания первого приближения: на основании закона полного тока I _{ф m}W = H _m l, откуда действующее значение тока намагничивания первого приближения

А.

6. Комплекс действующего значения тока катушки первого приближения в предположении, что U ₀ = U ₀Ð0º:

А.

7. Действующее значение входного напряжения первого приближения:

.

8. Найденное значение входного напряжения первого приближения сравнивается с заданным значением входного напряжения и при несовпадении результатов расчет повторяется до тех пор, пока действующее значение входного напряжения очередного приближения не совпадет (с той или иной погрешностью) с заданным входным напряжением.

9. Для ускорения расчета и уменьшения объема вычисления процесс сходимости заменяется построением зависимости U ₀ = f (U _вхрасч). Порядок построения этой зависимости проиллюстрирован в таблице.

B m, Тл	H m, А/м	P 0, Вт/кг	x, о.е.	U 0, В	I п, А	I ф m, А	I, А	U вхрасч, В
1,3 1,45 1,5		6,1	1,15 1,3 1,5	147,5 170,5	0,0907 0,101 0,12	0,515 0,91 1,18	0,523 0,916 1,19	151,6
1,475		5,55	1,4		0,115	1,025	1,03

Характеристика U ₀ = f (U _вхрасч) представлена на рис. б. По заданной величине входного напряжения U _вх = 175В на зависимости U ₀ = f (U _вхрасч) отыскивается реальная величина напряжения U ₀ = 168 В и вслед за этим по алгоритму, изложенному в пп. 1 – 6 (четвертая строка в таблице), отыскивается реальная величина действующего значения тока катушки I = 1,03 A. Зная активную I _п и реактивную I _ф составляющие тока в катушке (см. таблицу), легко определить параметры эквивалентной схемы замещения:

Ом^–1,

Ом^–1.

Ответ: I = 1,03 A; g _п = 0,682×10^–3 Сим; b _ф = 0,61×10^–2 Сим.

Задача 2

Сердечник электромагнита (рис. а) выполнен из стали 1311 (кривая намагничивания, удельные потери в стали и поправочный коэффициент приведены в таблице к задаче 1). Геометрические размеры сердечника указаны в миллиметрах. Коэффициент заполнения стали k _ст = 0,886. Число витков обмотки W = 380. Действующее значение входного напряжения промышленной частоты (f = 50 Гц) U = 220 B.

Пренебрегая резистивным сопротивлением обмотки (r = 0) и реактивным сопротивлением рассеяния (x_S = 0), а также полагая электромагнит условно-нелинейным элементом, определить ток I в обмотке.

Решение

С учетом принятых допущений (r = 0, x_S = 0) схема замещения электромагнита имеет вид, представленный на рис. б.

Искомый ток может быть найден по соотношению .

1. Определение намагничивающего тока I _ф (реактивной части тока катушки).

· Из соотношения U = U ₀ = 4,44 fW Ф _m, вытекающего из закона электромагнитной индукции, следует

Вб.

· Амплитуда магнитной индукции в сердечнике электромагнита:

Тл.

· Амплитуда магнитной напряженности (по таблице к задаче 1):

Н_m = 800 А/м.

· Амплитуда магнитной напряженности в немагнитном зазоре (в предположении, что магнитная индукция в зазоре и в стали одинакова):

А/м.

· Из закона полного тока I _фm W = Н_ml _ст + Н _dm l _d амплитуда намагничивающего тока определяется соотношением

=

А.

· Действующее значение тока намагничивания

А,

где – коэффициент амплитуды несинусоидального тока; x = 1,1 – поправочный коэффициент, определяемый по таблице к задаче 1, для амплитуды магнитной индукции в стали сердечника B _m = 1,175 Тл.

2. Определение тока потерь I _п (активной составляющей тока катушки).

· Потери в стали сердечника: P _ст = P ₀ G _ст= 3,6×10,36 = 37,3 Вт, где P ₀ = 3,6 Вт/кг – удельные потери в стали, найденные по таблице к задаче 1 для амплитуды индукции в стали B _m = 1,175 Тл; G _ст = g _FeV _ст = g _Fel _ст S _ст = 7,8×600×10^–3×0,886×2500×10^–6 = 10,36 кг – вес стального сердечника.

· Ток потерь А.

3. Действующее значение тока в катушке:

А.

Ответ: I = 1,78 А.

Задача 3

а

Схема, изображенная на рис. а, состоит из линейных элементов r = 100 Ом; x_L = 80 Ом и нелинейного конденсатора, вольт-амперная характеристика которого для действующих значений первой гармоники напряжения и тока приведена в таблице.

Рассчитать токи в ветвях схемы при U = 60 В, пренебрегая высшими гармоническими составляющими. Определить действующее значение напряжения на входе цепи, при котором в цепи будет иметь место резонанс напряжений.

в

б

Рис. к задаче 3

Решение

Расчет проводится посредством подбора величин либо посредством построения зависимостей I = f (U) и (j _u – j _i) = f (U).

1. Произвольно выбирается первое приближение действующего значения входного тока цепи .

2. По заданной вольт-амперной характеристике U_C (I) (cм. первые две строки таблицы) для значения тока первого приближения определяется действующее значение емкостного напряжения первого приближения.

3. В предположении, что , комплекс действующего значения емкостного напряжения (В).

4. С помощью символического метода определяется комплекс входного напряжения первого приближения

= В.

Полученное значение входного напряжения первого приближения сравнивается с действующим значением заданного входного напряжения U, и при несовпадении этих величин расчет повторяется до тех пор, пока действующее значение очередного приближения входного напряжения не совпадет (с требуемой точностью) с заданной величиной входного напряжения. Порядок расчета нескольких приближений приведен в таблице.

U C, В
I, А	0,4	0,7	0,9	1,0	1,08	1,14	1,18	1,21	1,24	1,28	1,3	1,34
U, В	18,3		37,8		42,2	44,8		51,8		62,5
j U, град	31,4	27,4	21,7	12,7	3,7	–5,8	–15,6	–24	–31,3	–37	–42,7	–46,2

5. Для ускорения процесса сходимости можно построить зависимость I (U) и по ней определить для заданного значения входного напряжения U = 60 B действительное значение входного тока цепи I = 1,26 A (рис. б).

6. В предположении, что начальная фаза входного тока принята равной нулю (см. п. 3), комплекс действующего значения входного тока будет иметь вид: А. Токи в остальных ветвях схемы могут быть найдены с использованием символического метода следующим образом:

А;

А.

7. Для оценки резонансного режима достаточно построить зависимость j _U (U) по расчетным данным таблицы (рис. в). Режим резонанса напряжений будет иметь место в том случае, когда входной ток будет совпадать по фазе с входным напряжением. Так как в расчете начальная фаза входного тока принята равной нулю (см. п. 3), резонанс будет иметь место, если начальная фаза входного напряжения тоже равна нулю. Как следует из графика j _U (U), нулевая фаза входного напряжения имеет место при U = 43 В. Таким образом, резонанс напряжений в рассматриваемой нелинейной цепи наступит при входном напряжении U = 43 В.

Ответ: I = 1,26 A; I ₁ = 0,986 A; I ₂ = 0,788 A; U _рез = 43 В.