VI. Графический метод расчета. Нелинейных цепей переменного тока

VI. Графический метод расчета

Нелинейных цепей переменного тока

(по характеристикам НЭ для мгновенных значений)

Основные вопросы

1. Последовательность расчета нелинейной электрической цепи графическим методом.

2. Границы применимости метода.

3. Достоинства и недостатки метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1989. – § 25.1 – 25.5.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1978. – § 15.8, 15.24, 15.45.

3. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1978. – § 15.20, 15.36, 15.45.

ПРИМЕРЫ

Задача 1

В цепи, представленной на рис. а, u (t) = 6 sinw t; r = 5 (Ом).

Вольт-амперная характеристика вентиля u _B(i) задана таблицей:

u B, В	–11	–5	–2			1,5		2,5
i, А	–0,2	–0,15	–0,1		0,2	0,4	0,7	1,4

Определить зависимость i (t).

Решение

Поскольку рассматриваемая цепь содержит лишь однородные элементы (линейный и нелинейный резистивные элементы), ток можно определять графическим методом с использованием ВАХ для мгновенных значений.

На основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи (рис. а)

u = u _B + u _r. (1)

Для графического решения нелинейного уравнения (1) достаточно построить (рис. б) внешнюю характеристику цепи u (i) = u _B(i) + u_r (i), посредством суммирования ВАХ вентиля u _B(i) и ВАХ линейного элемента u_r (i), а затем, используя полученную характеристику u (i), по заданной временнóй зависимости входного напряжения u (t) определить временнýю зависимость искомого тока i (t).

 

Порядок действий (рис. б):

1) по данным таблицы строится ВАХ вентильного элемента u _B(i);

2) строится линейная характеристика для резистора u_r (i) = ir =5i;

3) строится внешняя характеристика цепи u (i) посредством суммирования ординат (напряжений) при одних и тех же значениях абсцисс (токов) суммируемых ВАХ u _B(i) и u_r (i);

4) строится временнáя зависимость заданного входного напряжения (справа от графика с внешней характеристикой):

u (t) = 6 sinw t;

5) графически определяется искомая временнáя зависимость тока в цепи i (t) (ниже графика с внешней характеристикой) в следующей последовательности:

· рассматривается ряд фиксированных моментов времени в пределах периода T входного напряжения u (t);

· каждому моменту времени соответствует определенная точка на характеристике u (t), которой, в свою очередь, соответствует определенная (рабочая) точка на внешней характеристике u (i) (например, моменту времени t ₁ соответствуют точки n на временной зависимости u (t) и на внешней характеристике u (i));

· рабочая точка на внешней характеристике, соответствующая рассматриваемому моменту времени, предопределяет значение тока в данный момент времени (например, точка n на искомой зависимости i (t), соответствующая времени t ₁);

· в результате графического расчета (рис. б) получена несинусоидальная зависимость тока i (t) с амплитудными значениями:

+ I _М = 0,78 А; – I _М = 0,14 А.

Задача 2

На ферромагнитный тороидальный сердечник нанесены две обмотки с витками W ₁ и W ₂ (рис. а). По первичной обмотке W ₁ протекает ток i ₁(t) = I_m sinw t. Вторичная обмотка с витками W ₂ разомкнута. Вебер-амперная характеристика магнитной цепи Ф(i ₁) представлена на рис. б.

Определить напряжение u ₂(t) на зажимах вторичной обмотки W ₂, пренебрегая магнитным потоком рассеяния и потерями в магнитопроводе от вихревых токов.

Решение

1. В нижней части рис. б строится временнáя зависимость заданного синусоидального тока i ₁(t) = I_m sinw t.

2. По кривой i ₁(t) через промежуточную характеристику Ф(i ₁) графически определяется зависимость Ф(t) (точки кривых на зависимостях i ₁(t), Ф(i ₁), Ф(t), соответствующие одному и тому же времени, обозначены одинаковыми цифрами).

3. Зависимость Ф(t) представлена в правой части рис. б. Здесь же построена кривая f (t) = , полученная посредством графического дифференцирования зависимости Ф(t).

4. Ординаты кривой пропорциональны искомому напряжению: u ₂(t) = W ₂ .

Таким образом, ферромагнитный сердечник из магнитотвердого материала (с широкой петлей гистерезиса и, как следствие, с вебер-амперной характеристикой, приближенной к прямоугольнику) предопределяет импульсный характер выходного напряжения на зажимах обмотки W ₂.

Задача 3

На рис. а представлена мостовая схема с источником синусо­идального напряжения U (t)=70 В, где w=3140 с^–1. Вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности задана таблицей. L ₂ = 0,01 Гн.

i, A	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,8	1,0	1,2
y1, 103 Вб		13,5	16,5					21,4

Определить, при каком соотношении r ₃/ r ₄ напряжение u_cd небаланса ненагруженного моста минимально. Найти действующее значение этого напряжения.

Решение

Нелинейность ветви, содержащей последовательно соединенные линейную и нелинейную индуктивности, предопределяет несинусоидальный характер тока i(t) и, как следствие, несинусоидальный характер напряжений u₁(t) и u₂(t). В линейной ветви, содержащей последовательно соединенные резисторы r₃ и r₄, ток и напряжения на каждом из резисторов синусоидальны. Поэтому минимальное напряжение небаланса моста u_cd = u₂ – u₃ будет обусловлено высшими гармониками в напряжении u₂, поскольку первая гармоническая этого напряжения может быть скомпенсирована подбором сопротивлений r₃ и r₄.

1. Графическое определение тока i (t) в нелинейной ветви с последовательно соединенными индуктивностями:

а) на основании второго закона Кирхгофа с учетом принятых допущений

или

, (1)

где Ψ – результирующее потокосцепление ветви с последовательно соединенными индуктивностями.

Соотношение (1) определяет временнýю зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви:

б) зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви в функции тока может быть построена графически на основании соотношения

Ψ(i) = Ψ₁(i) + Ψ₂(i), (2)

в котором Ψ₂(i) = L ₂ i = 0,01 i.

В правой части рис. б изображены зависимость Ψ₁(i), построенная по данным таблицы, линейная характеристика Ψ₂(i) = 0,01 i и вебер-амперная характеристика результирующего потокосцепления Ψ(i) индуктивной ветви, построенная посредством суммирования ординат характеристик Ψ₁(i) и Ψ₂(i) для одних и тех же абсцисс;

в) в левой части рис. б представлена временнáя зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви

Ψ(t) = 0,0314sinω t;

г) функция Ψ(t) посредством характеристики i (Ψ) перестраивается во временнýю зависимость тока i (t) в индуктивной ветви. Порядок перестроения Ψ(t) в i (t) показан на рис. б на примере временнх точек t ₁ и t ₂. Искомая функци я i (t) изображена в нижней части рис. б.

 

2. Разложение функции i (t) в гармонический ряд.

Периодическая несинусоидальная функция i (t) обладает двумя видами симметрии – относительно начала координат и относительно оси абсцисс. Следовательно, ряд Фурье, изображающий функцию i (t), должен содержать лишь синусоидальные гармоники нечетного порядка. Если ограничиться первой и третьей гармониками, то несинусоидальный ток в индуктивной ветви можно представить в виде

i = i ⁽¹⁾ + i ⁽³⁾ = I _1msinω t + I _3msin3ω t. (3)

Неизвестные амплитуды гармонических составляющих могут быть найдены по значениям исходного несинусоидального тока i (t) для двух произвольных моментов времени, например, для t = T /6 (i (T /6) = 0,8 A) и для t = T /4 (i (T /4) = 1 A). Для рассматриваемых моментов времени выражение (3) принимает вид:

; ,

откуда следует I _1m = 0,8 A; I _3m = – 0,2 A.

Таким образом, ток в нелинейной индуктивной ветви определится cоотношением i (t) = 0,8sinω t – 0,2sin3ω t A.

3. Определение напряжения u ₂(t).

=

=

В. (4)

4. Напряжение на выходе моста.

На основании второго закона Кирхгофа с учетом синусоидальности режима в линейной резистивной ветви (см. рис. а)

. (5)

Для сбалансированного по первой гармонике моста

или ,

откуда следует

(6)

или

. (7)

Отношение (6) к (7) дает

. (8)

На основании второго закона Кирхгофа для схемы (см. рис. а)

. (9)

Так как входное напряжение синусоидально (содержит только первую гармоническую), из тождества (9) вытекает

. (10)

Из (9) с учетом (10) следует

= В. (11)

Из (8) с учетом (11)

Напряжение небаланса моста, как следует из соотношения (5), определяется лишь третьей гармонической

В.

Действующее значение этого напряжения

U_cd = В.

Ответ: ; U_cd = 13,3 В.

Задача 4

На рис. а представлена схема усилителя переменного напряжения на основе управляемого нелинейного активного сопротивления (триода): u _вх(t) = 2sinω t; R _н = 5 кОм; Е _А0 =200 В; Е _С0 = –2 В.

Определить графическим методом u _вых(t), i _A(t), u _A(t).

Выходные характеристики триода заданы в таблице.

i A, мА	U А, В
U с = 4 В	U с = 2 В	U с = 0 В	U с = –2 В	U с = –4 В	U с = –6 В

Рис. к задаче 4

Поскольку в сеточной цепи имеется переменный сигнал входного напряжения, ток i_A в анодной цепи будет зависеть как от анодного напряжения u_A, так и от сеточного напряжения u_С . Для построения временнóй зависимости i_A(t) необходимо иметь зависимость выходных характеристик триода в функции входных характеристик, т.е. i_A = f(u_C).

Решение

1. Построение семейства выходных характеристик триода i_A (u_C) по данным таблицы (рис. б).

2. Построение нагрузочной прямой i_A (u_А), уравнение которой вытекает из соотношения по второму закону Кирхгофадля анодной цепи: u _A + i _A R _H = E _A0.

Точки пересечения этой прямой с осями ординат и абсцисс (рис. б): u _A = 0; i _A = мА; i _A = 0; u _A = Е _А0= = 200 В.

3. Построение характеристики i_A (u_C) (рис. б).

4. Построение временнóй зависимости u _С(t) (рис. б):

u _С(t) = Е _А0 + u _вх = –2 + 2sinω t (B).

5. Зависимости u _С(t) и i_A (u_C) позволяют получить по правилам графического решения (рис. б) характеристику i _A(t). Приближенно i _A(t) = 13 + 5sinω t (мА).

6. Полученная зависимость i _A(t) совместно с характеристикой i_A (u_А) определяет u _A(t) (рис. б). Приближенно

u _A(t) = 140 – 25sinω t (В).

7. Характеристика i _A(t) в масштабе определяет временнýю зависимость выходного напряжения u _вых(t).

Задачи для самостоятельной работы

Задача 5

На рисунке изображен тороидальный сердечник с двумя обмотками W ₁ = 50 витков и W ₂ = 100 витков. По обмотке W ₁ протекает синусоидальный ток i ₁ =2sin1000 t А. Зависимость магнитного потока в сердечнике в функции тока i ₁ первичной обмотки представлена в таблице.

Ф, 104 Вб				5,5		6,1
i 1, А	0,25	0,5	0,75	1,0	2,0	3,0

Графически определить напряжение u ₂(t) на зажимах разомкнутой обмотки W ₂.

Задача 6

На рис. а изображена схема утроителя частоты. Зависимости магнитного потока Ф₁ первого трансформатора от тока i ₁ в обмотке W ₁, а также магнитного потока Ф₂ второго трансформатора от тока i ₁ представлены на рис. б. Последовательно соединенные обмотки W ₁ = W ₂ =200 подключены к источнику синусоидального напряжения u ₁(t) =180cos260 t.

Пренебрегая активными сопротивлениями обмоток W ₁ и W ₂, а также магнитными потоками рассеяния в магнитопроводах и потерями в них, определить число витков обмоток W ₃ и W ₄, при которых амплитуда выходного напряжения утроителя частоты в режиме холостого хода равнялась бы U _3m = 50 B.

Ответ: W ₃ = 620; W ₄ = 710.