Волновой анализ распространения света в волокне

Лекция 3

 

Распределение света по оптическому волокну

План:

1. Лучевой подход;

2. Электромагнитный подход;

3. Волновой анализ распространения света в волокне;

4. Распространение различных мод по оптоволокну;

5. Связь между понятиями луча и моды.

 

Оптические волны распространяются в ОВ при выполнении условий n₁ > n₂. соотношение между n₁ > n₂, принято характеризовать разностью показателей преломления Δ= (n₁ > n₂)/ n₁. для большинства ОВ Δ = 0.01...0.001.

Показатель преломления оболочки имеет постоянное значение, а показатель преломления сердцевины может оставаться постоянным или изменяться вдоль радиуса по определенному закону. Изменение показателей преломления ОВ вдоль радиуса называется профилем показателя преломления.

Исходя из двойственной природы света, процесс распространения светового излучения в световодах можно изучать, используя методы геометрической оптики (лучевой подход) или волновые уравнения ЭМ поля (ЭМ подход).

 

Лучевой подход

 

Основная его идея заключается в том, что в оптическом диапазоне частот с достаточно большой точностью распространение волн можно представить как движение энергии волн по лучам, описываемым с помощью геометрических соотношений. Анализ распространения света в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики.

Необходимым условием распространения света в ОВ в рамках лучевого подхода является требование падения лучей на торец ОВ в пределах входной угловой апертуры. Однако это условие не является достаточным, так как только часть из этих лучей будут распространяться вдоль оси световода.

Лучевой подход основан на представлении источника излучения и светового луча соответственно в виде точки и линии (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Полное внутреннее отражение света на границе вода–воздух;

S – точечный источник света

Лучевой под­ход наглядно показывает процессы распространения света по свето­водам, однако им можно пользоваться только при соблюдении усло­вия малости длины волны по сравнению с радиусом сердцевины волокна. Поэтому лучевой моделью можно пользоваться при изуче­нии распространения света в многомодовых волокнах, где указанное условие соблюдается.

Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей (рисунок 3.2). Научно-техническое направление, занимающееся разработкой и применением оптических световодов, называется волоконной оптикой.

Рисунок 3.2 - Распространение света в волоконном световоде.

При сильном изгибе волокна закон полного внутреннего отражения нарушается, и свет частично выходит из волокна через боковую поверхность

 

Напомним основные законы геометрической оптики:

1. Отражение света. Когда свет падает на границу раздела двух сред, определённая его часть отражается. Количество отражённого света зависит от угла α₁ между падающим лучом света и нормалью к поверхности падения. Термин "луч света" здесь используется для обозначения пути, по которому проходит световая энергия. Для отражённого луча и угла α₂, образованного нормалью к поверхности падения и отражённым лучом света (рисунок 3.3), имеют силу следующие утверждения:

Отражённый луч:

- остаётся в плоскости падения, образуемой падающим лучом света и нормалью к поверхности падения луча;

- по отношению к падающему лучу света лежит на противоположной стороне от нормали к поверхности падения луча;

- имеет угол отражения по отношению к нормали к поверхности падения, равный углу падения.

₁ = _2. (3.1)

2. Преломление света. Когда луч света входит под углом падения α в оптически более плотную среду (например, стекло или воду) из оптически менее плотной среды (например, воздуха), то его направление распространения по отношению к нормали к поверхности падения изменяется, он преломляется под углом преломления β.

Для изотропной среды, то есть материала или вещества, имеющего одинаковые свойства во всех направлениях, применим закон преломления Снеллиуса (1621г.): отношение угла падения к синусу угла преломления является величиной постоянной и также идентично отношению с₁/с₂ скоростей света с₁ в первой среде и с₂ во второй среде (рисунок 3.4)

, (3.2)

где α – угол падения; с₁ – скорость света 1; β – угол преломления; с₂ – скорость света 2.

 

Рисунок 3.3 – Отражение света

 

Рисунок 3.4 – Преломление света

 

Из двух оптических сред более плотной называется та, в которой скорость света меньше.

При переходе из вакуума (воздуха), где свет распространяется со скоростью с_о, в среду со скоростью света с имеет силу отношение

. (3.3)

Отношение скорости света с_о в вакууме к скорости света с в среде называется показателем преломления n (более точно, фазовым показателем преломления) соответствующей среды. Показатель преломления вакуума (воздуха) n_o=1.

Для двух различных сред с показателями преломления n₁ и n₂ и скоростями света в них c₁ и c₂ имеют силу следующие соотношения:

c₁=c_o/n₁ и c₂=c_o/n₂. (3.4)

Отсюда следует еще одна форма закона Снеллиуса - отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно обратному отношению соответствующих показателей преломления:

. (3.5)

3. Полное внутреннее отражение. Если луч света (3) падает на поверхность раздела между средой с показателем преломления n₁ и средой с показателем преломления n₂<n₁ под постепенно уменьшающимся углом, то есть с постепенно увеличивающимся углом падения , то при определенном угле падения _о угол преломления становится равным β_о = 90^о (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Полное внутреннее отражение:

1' – полностью отраженный луч света; 2' – преломленный луч света с углом преломления β₀=90; 3' – преломленный луч света

 

В этом случае луч света (2') распространяется параллельно поверхности раздела двух сред. Угол падения _о называется критическим (предельным) углом двух сред. Для критического угла _о имеет силу следующее соотношение:

sin _о = n₂ / n₁,

то есть критический угол зависит от отношения показателей преломления n₁ и n₂ двух сред. Например, для критического угла между водой с n₁=1,333 и воздухом с n_o=1 имеем sin _о=1/1,333 0,75 и _о 49^о; между стеклом с n₁=1,5 и воздухом с n_o=1 он равен sin _о=1/1,5 0,67 и _о 42^о.

Для всех лучей, у которых угол падения больше критического угла _о, не существует соответствующих преломленных лучей в оптически менее плотной среде. Эти лучи света отражаются на поверхности раздела обратно в оптически более плотную среду - это явление называется полное внутреннее отражение (луч света 1).

Полное внутреннее отражение может происходить на поверхности раздела сред только тогда, когда луч света распространяется из оптически более плотной среды (например, стекло n₁=1,5) в оптически менее плотную среду (например, воздух n_o=1), и никогда не происходит в обратном случае.

У реальных ОВ, вследствие малой разности пока­зателей преломления сердцевины п₁ и оболочки п₂, луч света проника­ет, а следовательно и распространяется по оболочке ОВ даже при углах падения φ_i > φ_пр, см. рисунок 3.6. Глубина проникновения волн в оболоч­ку уменьшается при увеличении угла падения, при этом отраженная волна приобретает фазовый сдвиг, зависящий от угла падения. Глуби­на проникновения (δ), т.е. расстояние, на котором плоская волна осла­бевает в е = 2,71 раза при φ_i > φ_пр определяется выражение:

(3.6)

где λ — длина волны.

Полное внутреннее отражение плоской волны на границе раздела двух сред сопровождается теми же эффектами, что и отражение от металлической плоскости, смещенной на некоторое расстояние λ ₀ от поверхности раздела. Поток энергии из первой среды во вторую в среднем равен нулю, поэтому энергия падающей ЭМ волны полностью возвращается в первую среду при условии отсутствия потерь энергии во второй среде.

Рисунок 3.6 - Скачок фазы на границе раздела двух сред

 

Электромагнитный подход

 

Для расчета ЭМ процессов в световодах используют ряд математи­ческих моделей, отличающихся друг от друга сложностью математи­ческого аппарата и наглядностью. В первую очередь стремятся ис­пользовать наиболее простые в математическом плане модели, обладающие наибольшей наглядностью. При необходимости учета бо­лее сложных деталей процесса распространения света в световоде переходят к использованию более сложных математических моделей.

В случае одномодовых волокон требуется ЭМ под­ход, т.е. решение волновых уравнений при заданных граничных ус­ловиях.

Элект­ромагнитный подход позволяет точно рассчитать число мод (лу­чей), которые могут распространяться по световоду. Расчет под­разумевает совместное решение волновых уравнений для сердцевины и оболочки оптического волокна с учетом граничных условий.

Для того, чтобы не делать расчет для каждого световода отдельно, а получить характеристики, присущие определенному типу светово­дов (например, для ступенчатого профиля), вводят понятие нормиро­ванной (характеристической) частоты. Нормированная частота являет­ся обобщенной характеристикой световода, поскольку зависит не только от геометрических и оптических характеристик световода, но и от длины волны источника излучения.

Типы и число направляемых волн (мод). Для правильной эксплуатации волоконных световодов, а также нормирования разброса длин волн лазерных источников излучения, необходимо знать наименьшую эксплуатационную длину волны, на­зываемую критической длиной волны волоконного световода, при которой может распространяться только одна фундаментальная мода. Один и тот же световод для длин волн, выше критической длины волны, работает в одномодовом режиме, а для длин волн ниже критической длины волны работает в многомодовом ре­жиме.

При лучевом подходе каждой из этих мод соответ­ствует меридиональный луч с определенным углом наклона к оси волокна.

Важным параметром любой моды является ее частота отсечки (f^кр_mn), называемая также критической ча­стотой, ниже которой поле не рас­пространяется вдоль световода.

В случае симметричных мод для определения частот отсечки можно воспользоваться уравнением

. (3.7)

которое имеет бесчисленное мно­жество решений (корней).

Достоинством одномодовой передачи является широкая полоса пе­редаваемых частот (несколько гигагерц) и меньшее затухание по срав­нению с многомодовой. С увеличением числа мод полоса передавае­мых частот сужается. Однако одномодовый режим требует применения когерентных источников излучения (лазеров). Для многомодовых сис­тем передачи можно использовать простейшие источники излучения — светодиоды.

Число мод (N) при ступенчатом профиле показателя преломления приблизительно равно

. (3.8)

Из выражения (3.8) видно, что значение V может быть уменьшено за счет уменьшения диаметра сердцевины и разности показателей преломления и увеличения рабочей длины волны.

Число направляемых мод градиентного волокна равно

. (3.9)

При одинаковой нормированной частоте число направляемых мод градиен­тного ОВ в 2 раза меньше, чем у ступенчатого, что существенно улучшает его характеристики передачи.

Когда нормированная частота при ступенчатом профиле световода меньше критического значения V_c= 2,405, волокно поддерживает распространение только одной фундаментальной моды. Волокно, в котором может распространяться только фундаментальная мода, на­зывается одномодовым. Вследствие поляризации света фундаменталь­ная мода может существовать в двух ортогональных поляризациях. Влияние поляризации необходимо учитывать при скорости передачи 2,5 Гбит/с и выше.

 

Волновой анализ распространения света в волокне

 

Количественный ана­лиз ЭМ процессов проводится на основе уравнений Максвелла. Волновые уравнения получаются из уравнений Максвелла и характеризуют закон изменения векторов напряженности элект­рического и магнитного поля для гармонических процессов. Про­стейшим случаем волнового процесса является плоская волна. Плос­кой называют такую волну, при которой в ЭМ поле можно провести ряд параллельных плоскостей, перпендикулярных на­правлению распространения волны так, чтобы вектора Е и Н — об­щепринятое обозначение соответственно векторов электрического и магнитного поля — лежали в этих плоскостях и сохраняли как свое значение, так и направление вдоль всей плоскости. Так как волновые уравнения линейны, то общее решение уравнения является суперпо­зицией всех плоских волн, распространяющихся в любых направле­ниях. Понятие плоской волны при изучении ЭМ волн имеет такое же фундаментальное значение, как и гармонических (си­нусоидальных) колебаний при изучении изменяющихся во времени сложных процессов.

Рассмотрим волновые процессы в идеальном ОВ двухслойной конструкции (см.рисунок 3.7)без потерь.

В цилиндрической системе координат волновые уравнения для про­дольных составляющих Е_Z и Н_Z для сердцевины (r<а) имеют вид

; (3.10)

; (3.11)

, (3.12)

поскольку в слу­чае диэлектрических материалов ε = , μ=μ₀ и в средах без потерь γ² = - β² (β — продольный коэффициент распространения волны в ОВ).

Рисунок 3.7 – Волновые процессы в идеальном оптическом волокне

 

Фазовая постоянная распростра­нения плоских волн β₁ в среде с показателем преломления п₁ определяется в случае однородного диэлектрика соот­ношением

.

где ε_r1 -относительная диэлектрическая проницаемость сердцевины ОВ; λ — длина волны в вакууме; п₁ — коэффициент преломления сердцевины волокна ОВ относи­тельно вакуума или показатель преломления сердечника; с — скорость света в вакууме.

Для рассмотрения процессов в оболочке (r а) воспользуемся теми же уравнениями (3.10) и (3.11) с заменой g₁ на g₂.

g₂² =ω²μ_оε₂ — β² = β₂² — β², (3.13)

где β ₂ = 2 πn ₂/ λ — фазовая постоянная распространения плоских волн в среде с диэлектрической проницаемостью, равной ε₂, и соответствен­ным показателем преломления п₂ = .

Уравнения (3.10) и (3.11) однотипны, поэтому поясним подход к их ре­шению на примере уравнения (3.10) для продольных составляющих Ez.

В соотношениях между цилиндрическими функциями, с одной сто­роны, и показательной и тригонометрической функциями с другой имеется некоторая аналогия.

Известные соотношения между последними

; (3.14)

(3.15)
похожи на соотношениядля цилиндрических функций

; (3.16)

. (3.17)

Переменная z может быть произвольной комплексной величиной. Если переменная z = х вещественна, то функции Бесселя первого J_m(x) и второго N_m(x) родов имеют, как и тригонометрические функции, ос­циллирующий характер. При z → 0 только функция J_m(z) остается ко­нечной. Функции Ганкеля напоминают показательные функции, а имен­но функция Н_m⁽¹⁾ (z) для больших значений аргумента z уменьшается экспоненциально так же, как показательная функция е^jх, если z = х +jy имеет положительную мнимую часть. Если же z = x—jy, то функция Н_m⁽²⁾ (z) будет убывать подобно функции e^-jz. Отмеченные аналогии функций, выражающих волновые процессы при плоских и цилиндри­ческих волнах, сведены в таблице 3.1.

Выбор вида цилиндрических функций, описывающих электромаг­нитное поле в сердцевине и оболочке, определяется физическими соображениями передачи направляемых мод и предельными значениями цилиндрических функций.

 

Таблица 3.1

Плоские волны	Цилиндрические волны
Бегущие Стоячие	Нm(1) (z) – функция Ганкеля I рода Нm(2) (z) – функция Ганкеля II рода   Jm(x) – функция Бесселя I рода Nm(x) – функция Бесселя II рода или Неймана