Принципы сравнительных суждений

После формирования системы критериев в виде иерархии возникают естественные вопросы установки приоритетов крите­риев и оценки альтернатив по этому критерию с целью выявления самой важной из них.

Наиболее целесообразно организовать парные сравнения по отношению к их воздействию, а результаты сравнений предста­вить в матричной форме в виде квадратной матрицы.

Эта матрица будет иметь свойства обратно симметричной матрицы, т.е.:

, где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Строки и столбцы образуют «вектор» матрицы. Квадратная матрица характеризуется собственным вектором и собственными значениями, способ вычисления этих характеристик определяет способ количественного определения сравнительной важности критериев.

Так как а₁₁, a₁₂,...,a_ij неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъек­тивных суждений и численного оценивания по шкале важности.

Результаты сравнения заносятся в матрицу, строки и столбцы которой образуют альтернативы сравниваемых между собой элементов. На основе данных заполненной таблицы фор­мируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние критериев качества на выбор лучшего объекта сравнения, для этого организуется вычисления собственных векторов матрицы, а затем нормализуются результаты к единице, получая тем самым искомый вектор приоритетов, который и расставляет сравниваемые объекты по значимости.

Для вычисления собственных векторов существует множест­во приемов. Одним из наилучших является нахождение геомет­рического среднего. Это получается при перемножении элемен­тов в каждой строке и извлечением из произведения корня N-й степени, где N - количество элементов.

Полученный таким. способом столбец нормализуется делени­ем каждого числа на сумму всех чисел:

	Матрица	Вычисление оценок ком­понент собственного вектора по строкам		Нормализация для получения оценок вектора приоритетов
N	A1	A2	A3	A4
A1	W1 W1	W1 W2	W1 W3	W1 W4		Теперь сложите элементы столбца и нормализуйте
A2	W2 W1	W2 W2	W2 W3	W2 W4
A3	W3 W1	W3 W2	W3 W3	W3 W4
A4	W4 W1	W4 W2	W4 W3	W4 W4
					Сумма (a:d)

Процесс выбора лучшего изделия зависит от способа фор­мирования системы критериев, и ограничений, налагаемых на их выбор. Критерии могут быть по значимости равнозначны, неравнозначны, образовывать многоуровневую разветвленную. структуру - иерархию.

В простейшем случае критерии можно считать равными по своей значимости и тогда выбор лучшего (предпочтительного варианта) находится согласно алгоритму:

Рисунок 1. Алгоритм выбора лучшего изделия по равнозначным критериям.

Здесь:

Если критерии неравнозначны, то предварительно.определяют приоритеты критериев R[K]. Затем вычисляются глобаль­ные приоритеты X[K, N], а глобальные приоритеты сравниваемых объектов определяются путем перемножения матриц

|Y[N]| = |X[K,N]|*|R[K]|,-или в развернутой форме

Блок-схема, алгоритма приведена на рис.2:

Рисунок 2. Алгоритм выбора лучшего изделия по неравнозначным критериям

Если критерии представляют многоуровневую иерархическую структуру, то в этом случае на каждом уровне организуется процесс ранжирования критериев данного уровня и нахождение соответствующих локальных приоритетов объектов сравнения.

Для проведения парных сравнений объектов анализа ис­пользуется шкала относительной важности,, показанная в таблице 2.

Оценки начинают с левого верхнего элемента матрицы и задаются вопросы следующего вида.

- Какой из объектов важнее (лучше)?

- Какой из них предпочтительнее?

- Какое решение более очевидно?

При сравнении элемента с самим собой отношение равно единице. Если первый объект важнее, чем второй, то исполь­зуется целое число из шкалы табл.2. В любом случае обратные друг к другу отношения заносятся в симметричные позиции матрицы. Поэтому в результате проведения рассмотренных сравнений образуется положительная обратносимметричная мат­рица и нужно произвести (N-1)*N/2 суждений, где N - общее число сравниваемых объектов.

Поскольку оценки сделаны в результате субъективных суж­дений, т.е.. баллы назначаются самим проектировщиком в соот­ветствии с его вкусами и внутренними убеждениями, существует необходимость сделать проверку согласованности оценок. Для того вычисляется индекс согласованности (ИС), который характеризует нарушение этой согласованности.

В основе такой операции лежит довод о том, что все из­мерения, в которых используются приборы, содержат погрешно­сти измерений. Они связаны прежде всего с неточностью измерительных приборов и неточностями самих измерений. Эти погрешности и приводят к несогласованности результатов. На пример, при взвешивании оказалось, что предмет -А тяжелее, чем предмет Б, Б тяжелее B, а В тяжелее А. Это возможно, когда веса А, Б, В близки, а точность прибора соизмерима с разницей их весов.

Способ оценки согласованности при решении данных задач заключается в следующем:

1. Суммируем каждый столбец суждений Si;

2. Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов Xi

Z_i=S_i*X_i;

3. Суммируются полученные числа,:

4. Находится индекс согласованности по формуле

Для обратносимметричной матрицы всегда l_max³N.

Теперь необходимо сравнить a, с той, которая могла быть получена при случайном выборе суждений из списка 1/9, 1/8, 1/7... 1, 2, 3, …, 9 при формировании обратносимметричной матрицы. Средние данные согласованности для случай­ной матрицы разного порядка приведены в таблице:

Если разделить индекс согласованности a на число γ, со­ответствующее случайной согласованности матрицы того же по­рядка у то получим отношение согласованностей

b=a/g.

На b накладываются условия:

Если g > 0,2 то нужно исследовать задачу снова и проверить суждения.

Рисунок 3. Критерии для сравнения выбранных систем.