И методы их решения. Метод изоклин (графическое решение)





ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия

Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные или дифференциалы.

- - дифференциальное уравнение первого порядка, неявный вид.

- - уравнение, разрешённое относительно производной.

- - дифференциальная форма записи дифференциального уравнения первого порядка.

ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным.

ПорядкомДУ называется порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в уравнение.

Всякая функция, удовлетворяющая ДУ, т.е. при подстановке в уравнение обращающая его в тождество, называется решением уравнения. Бесконечное множество решений уравнения называется общим решением ДУ. Общее решение имеет вид , где C – произвольная постоянная. Если решение задано в неявном виде, то оно обычно называется интегралом. Множество интегралов называется общим интегралом и имеет вид .

Каждому решению уравнения соответствует линия (график), называемая интегральной кривой этого уравнения.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то уравнение имеет решение такое, что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение – единственное.

Условие, при котором значение искомой функции равно при , называется начальным условием уравнения и записывается .

Решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию, называется частным решением.

Например.

а) – ДУ 1-го порядка в неявном виде.

б) – ДУ 1-го порядка в дифференциальной форме.

в) – ДУ 1-го порядка разрешенное относительно производной.

Пример 1.Выяснить, является ли функция решением уравнения ?

Решение. . Полученную производную подставим в уравнение. Тогда , . Получили верное тождество, следовательно, данная функция является решением данного ДУ.

Дифференциальные уравнения первого порядка

и методы их решения. Метод изоклин (графическое решение)

 

Геометрическое истолкование ДУ первого порядка. Уравнение устанавливающее связь (зависимость) между координатами точки и угловым коэффициентом касательной интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху.

Поле направлений изображаетсяпри помощисистемы чёрточек или стрелок с углом наклона .

Кривые (где ), в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, можно приближённо нарисовать интегральные кривые, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.

Пример 2.Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых для дифференциальног уравнения .

Решение. Здесь изоклинами являются прямые линии:

, где

, , ;

, , ;

, , .

На каждой из прямой изображаем систему черточек под найденным углом. Проводя линии таким образом, чтобы черточки являлись касательными к интегральным кривым, получим параболы (рис. 12)

 

Рисунок 12

 





Читайте также:
Основные идеи славянофильства: Славянофилы в своей трактовке русской истории исходили из православия как начала...
Продление сроков использования СИЗ: Согласно пункта 22 приказа Минздравсоцразвития России от...
Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около...
Функции, которые должен выполнять администратор стоматологической клиники: На администратора стоматологического учреждения возлагается серьезная ...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.01 с.